Vectorruimte

Een vectorruimte over een lichaam (Ned) / veld (Be) ${\displaystyle K}$ is een verzameling van elementen aangeduid als vectoren, waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd: een optelling van twee vectoren, genoteerd met "${\displaystyle +}$", en een scalaire vermenigvuldiging van een scalair (een element uit ${\displaystyle K}$) met een vector, genoteerd met "${\displaystyle *}$". Deze bewerkingen moeten voldoen aan de volgende voorwaarden.

Voor elke drie (al dan niet verschillende) vectoren ${\displaystyle u,v,w\in V}$ en elke twee willekeurige scalairen ${\displaystyle a,b\in K}$ geldt:

1. ${\displaystyle v+w}$ is weer een vector uit ${\displaystyle V}$
   ${\displaystyle V}$ is gesloten onder de optelling van vectoren
2. ${\displaystyle u+(v+w)=(u+v)+w}$
   De optelling van vectoren is associatief.
3. Er bestaat een element ${\displaystyle \mathbf {0} \in V}$, zo dat voor alle vectoren ${\displaystyle v\in V}$ geldt dat ${\displaystyle \mathbf {0} +v=v=v+\mathbf {0} .}$
   Het element ${\displaystyle \mathbf {0} }$ wordt het neutrale element of de nulvector genoemd (men kan aantonen dat het neutrale element uniek is). Aangezien het zelden tot verwarring aanleiding geeft, schrijft men ook eenvoudigweg 0 in plaats van ${\displaystyle \mathbf {0} .}$
4. Voor alle vectoren ${\displaystyle v}$ bestaat er een vector ${\displaystyle -v}$ zo dat ${\displaystyle v+(-v)=0}$
   De vector ${\displaystyle -v}$ noemt men het inverse element of de tegengestelde vector van ${\displaystyle v.}$
5. ${\displaystyle v+w=w+v}$
   De optelling van vectoren is commutatief.
6. ${\displaystyle a*v}$ is weer een vector uit ${\displaystyle V}$.
   ${\displaystyle V}$ is gesloten onder de scalaire vermenigvuldiging.
7. ${\displaystyle a*(b*v)=(a*b)*v}$
   De scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief.
8. Als 1 het eenheidselement is van ${\displaystyle K}$, geldt ${\displaystyle 1*v=v.}$
   Het eenheidselement uit ${\displaystyle K}$ is het neutrale element voor de scalaire vermenigvuldiging.
9. ${\displaystyle a*(v+w)=a*v+a*w}$
   Distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling van vectoren.
10. ${\displaystyle (a+b)*v=a*v+b*v}$
    Distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling van scalairen. Merk op dat met "${\displaystyle a+b}$" de optelling van twee scalairen in ${\displaystyle K}$ wordt bedoeld. Dit is niet dezelfde optelling als de optelling van vectoren in ${\displaystyle V.}$

De eigenschappen 1 t/m 5 zijn equivalent met de eigenschap dat ${\displaystyle V}$ een abelse of commutatieve groep is onder de optelling. Door ${\displaystyle K}$ te vervangen door een willekeurige ring ${\displaystyle R,}$ vormen de voorwaarden de definitie van een ${\displaystyle R}$-moduul; een vectorruimte is dus eigenlijk een speciaal soort moduul.

Veel gebruikte vectorruimten zijn die waarin ${\displaystyle K}$ gelijk is aan de reële getallen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ of de complexe getallen ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ De vectorruimte ${\displaystyle V}$ heet dan een reële respectievelijk een complexe vectorruimte. Een vectorruimte waarop een norm gedefinieerd is, heet een genormeerde vectorruimte.

Men zegt dat een verzameling vectoren ${\displaystyle A}$ een voortbrengend deel, van een vectorruimte ${\displaystyle V}$ is, als ${\displaystyle V}$ de kleinste vectorruimte is die ${\displaystyle A}$ bevat. Dit houdt niet alleen in dat ${\displaystyle V}$ alle lineaire combinaties van vectoren uit ${\displaystyle A}$ bevat, maar ook dat alle vectoren in ${\displaystyle V}$ lineaire combinaties zijn van vectoren uit ${\displaystyle A}$.

Het stelsel vectoren ${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}}$ heet een vrij deel als de vectoren uit ${\displaystyle B}$ lineair onafhankelijk zijn, dus als:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}b_{i}=0\Rightarrow \forall i:c_{i}=0.}$

Dit wil zeggen dat de enige lineaire combinatie van vectoren in ${\displaystyle B}$ die nul oplevert, de combinatie is met alle coëfficiënten nul. Het gevolg is dat verschillende lineaire combinaties van vectoren in ${\displaystyle B}$ ook verschillende vectoren voorstellen.

Een basis van ${\displaystyle V}$ is een deelverzameling die zowel een voortbrenger van ${\displaystyle V}$ is als een vrij deel in ${\displaystyle V}$. Men kan (met behulp van het keuzeaxioma) aantonen dat elke vectorruimte een basis heeft. Intuïtief beschouwd is een basis een zo klein mogelijke verzameling van vectoren waarmee de hele vectorruimte opgebouwd kan worden (door scalaire vermenigvuldigingen en vectorsommen). In een gegeven vectorruimte ${\displaystyle V}$ kan een basis op verschillende manieren gekozen worden, maar het aantal vectoren (kardinaliteit) in een basis van ${\displaystyle V}$ is altijd gelijk.

Het aantal vectoren van de basis wordt de dimensie van de vectorruimte genoemd. Intuïtief beschouwd is de dimensie van een vectorruimte het aantal onderling orthogonale richtingen waarin de vectoren kunnen variëren.

Als het lichaam ${\displaystyle K}$ eindig is, geldt:

• bij een eindige basis is ${\displaystyle V}$ eindig;
• bij een aftelbaar oneindige basis is ${\displaystyle V}$ aftelbaar oneindig.

Een deelruimte (ook lineaire deelruimte genoemd) is een deelverzameling van een vectorruimte die zelf ook weer een vectorruimte over hetzelfde lichaam is. Elke vectorruimte bevat twee triviale deelruimtes: zichzelf en ook de kleinst mogelijke deelruimte, die alleen uit de nulvector bestaat.

Het begrip vectorruimte vloeit conceptueel voort uit de affiene meetkunde, via de introductie van coördinaten in het platte vlak of in de gebruikelijke driedimensionale ruimte. Rond 1636 legden de Franse wiskundigen Descartes en Fermat de basis voor de analytische meetkunde door de oplossingen van een vergelijking met twee variabelen te koppelen aan de bepaling van een tweedimensionale kromme.

Om tot een meetkundige oplossing te komen zonder gebruik te maken van coördinaten, introduceerde Bernard Bolzano in 1804 bepaalde operaties op punten, lijnen en vlakken die als voorlopers van vectoren kunnen worden gezien.[1] Dit werk werd beschouwd in het concept van de barycentrische coördinaten van August Ferdinand Möbius in 1827.[2] De beslissende stap in de definitie van vectoren was Bellavitis' definitie van het bipunt: een richtinggevend segment waarvan een van de uiteinden de oorsprong is en de ander het doel.

Vectorruimten werden in een nieuw licht geplaatst door de introductie van het complexe vlak door Jean-Robert Argand en William Rowan Hamilton en de introductie van quaternionen en biquaternionen door de laatstgenoemde; het betreft elementen van respectievelijk ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$. De opvatting als lineaire combinatie gaat terug tot Laguerre in 1867, die in dat jaar stelsels lineaire vergelijkingen definieerde.

In 1857 introduceerde Cayley zijn matrixnotatie die het mogelijk maakte de notatie van lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten te harmoniseren en te vereenvoudigen.

Tegelijkertijd bestudeerde Grassmann de barycentrische calculus die was geïnitieerd door Möbius, die verzamelingen van abstracte objecten, uitgerust met operaties, beschouwde[3] Zijn werk overstijgt het raamwerk van de vectorruimten, aangezien zijn invoering van vermenigvuldiging hem naar het concept van algebra's leidde. Toch zijn de begrippen dimensie en lineaire onafhankelijkheid aanwezig, evenals het scalair (inwendig) product (1844). Het primaat van deze ontdekkingen werd door Cauchy betwist in diens publicatie Sur les clefs algébriques.

De Italiaanse wiskundige Peano, een van wiens belangrijke bijdragen de strenge axiomatisering van bestaande concepten is geweest, met name de constructie van verzamelingen, was een van de eersten die rond het einde van de 19de eeuw met de moderne definitie van vectorruimten werkten.[4]

Een belangrijke ontwikkeling van dit concept is te danken aan de constructie van functieruimten door Henri Lebesgue. Dit werd later geformaliseerd door David Hilbert en Stefan Banach (in diens proefschrift uit 1920).

Op dit moment begonnen de algebra en het nieuwe terrein van de functionaalanalyse op elkaar in te werken, met name met belangrijkste concepten zoals ruimten van ${\displaystyle p}$-integreerbare functies en hilbertruimten. Ook werden in die tijd de eerste studies naar oneindig-dimensionale vectorruimten uitgevoerd.

Een moduul is een algebraïsche structuur die erg lijkt op een vectorruimte. Een moduul is echter gedefinieerd over een ring, in plaats van over een lichaam (Ned. term; Belgisch: veld). Bij een moduul eist men dus niet dat ${\displaystyle K}$ een lichaam (Ned. term) is, maar wel dat ${\displaystyle K}$ een ring is. Elke vectorruimte is dus een moduul en alle eigenschappen van modulen gelden ook voor vectorruimten.