Vector (wiskunde)

Een vrije vector wordt bepaald door een richting en een lengte. Een vrije vector kan overal op het vlak of in de ruimte getekend worden: het blijft dezelfde vector. Omgekeerd: alle vrije vectoren met dezelfde richting en lengte zijn een voorstelling van één en dezelfde vector.

Een glijdende vector heeft een vaste richting en lengte, maar kan enkel vrij over zijn drager of dragende rechte schuiven of glijden, dus in de richting van de vector en in tegengestelde richting. Een glijdende vector kan overal op de rechte getekend worden: het blijft dezelfde vector. Bijvoorbeeld in het geval van een koppel maakt het glijden van de twee krachten over hun dragers niet uit voor het koppelmoment, terwijl zijdelings verschuiven wel uit zou maken.

Een gebonden vector heeft een vast aangrijpingspunt en een vaste richting en lengte. Het aangrijpingspunt is het punt waar vanuit de vector "vertrekt". Iedere functiewaarde van een vectorveld kan worden voorgesteld als een gebonden vector.

Een plaatsvector is een gebonden vector met de oorsprong als aangrijpingspunt. Wanneer met plaatsvectoren wordt gerekend, worden de notaties voor een punt en de bijhorende plaatsvector vaak door elkaar gebruikt: ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {P}}=(p_{x},p_{y})}$

De vector ${\displaystyle \mathbf {a} }$ kan worden geschreven als ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}$. Als de vector ${\displaystyle \mathbf {a} }$ op de tekening een gebonden vector is, is ${\displaystyle P}$ het aangrijpingspunt van ${\displaystyle \mathbf {a} }$. De afbeelding stelt een vector in een tweedimensionale ruimte voor. Men kan ook vectoren in ruimtes met andere dimensies beschouwen. Merk op dat men een vrije vector op verschillende manieren kan tekenen. Wanneer men op eenzelfde afbeelding verschillende malen dezelfde vector tekent, heeft men verschillende, evenwijdige pijltjes van gelijke lengte die in dezelfde richting wijzen. Twee vrije vectoren zijn gelijk als ze dezelfde grootte en richting hebben. Voor gebonden vectoren komt hier nog de eis bij dat ze hetzelfde aangrijpingspunt moeten hebben. Hierdoor ligt de grafische voorstelling van een gebonden vector volledig vast: men kan niet op één afbeelding twee keer (op een verschillende plaats) dezelfde gebonden vector tekenen. De vectoren ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en ${\displaystyle \mathbf {b} }$ op de volgende afbeelding zijn gelijk als het gaat om vrije vectoren, maar verschillend als het gaat om gebonden vectoren, aangezien ze een verschillend aangrijpingspunt hebben.

Van twee vectoren zegt men dat deze gelijk zijn als ze dezelfde grootte en richting hebben.[2]

Equivalent is: van twee vectoren zegt men dat deze gelijk zijn als ze dezelfde coördinaten hebben. Twee vectoren

${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$

en

${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$

zijn dus gelijk dan en slechts dan als

${\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}}$.

Het optellen van vectoren kan men doen aan de hand van een tekening in een vlak waar beide inliggen, de zogenoemde parallellogramregel:

Om ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}$ te construeren, tekent men ${\displaystyle {\vec {a}}}$ en ${\displaystyle {\vec {b}}}$ zo, dat de pijltjes die deze vectoren voorstellen in hetzelfde punt vertrekken. Daarna maakt men een parallellogram, zoals op de tekening. Wanneer men dan een pijltje tekent dat begint in hetzelfde punt waar ${\displaystyle {\vec {a}}}$ en ${\displaystyle {\vec {b}}}$ beginnen, en dat gaat naar de overliggende hoek van het parallellogram, bekomt men een voorstelling van ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}$.

Som van meerdere vectoren[3]

Er bestaat ook een andere manier om ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}$ te construeren (kop-staartmethode): als het pijltje dat ${\displaystyle {\vec {a}}}$ voorstelt, gaat van P naar Q, teken je ${\displaystyle {\vec {b}}}$ zo dat het pijltje dat ${\displaystyle {\vec {b}}}$ voorstelt, begint in Q. Als dan het pijltje dat ${\displaystyle {\vec {b}}}$ voorstelt, stopt in R, is het pijltje van P naar R een voorstelling van de vector ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}$. De volgende afbeelding illustreert dit:

Deze tekening illustreert meteen ook de gelijkheid van Chasles-Möbius:

${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}}$

Deze manier is ook toepasbaar bij meerdere vectoren.

De verschilvector van de vectoren a en b

Het verschil ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ van de vectoren ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en ${\displaystyle \mathbf {b} }$ is gedefinieerd als ${\displaystyle \mathbf {a} +(-\mathbf {b} )}$, waarin ${\displaystyle -\mathbf {b} }$ de tegengestelde vector van ${\displaystyle \mathbf {b} }$ is, dat wil zeggen de vector met dezelfde grootte als ${\displaystyle \mathbf {b} }$, maar met tegengestelde richting (zie het voorbeeld van de scalaire vermenigvuldiging).

Scalaire vermenigvuldiging mag niet verward worden met het scalaire product (zie verder).

Om het verschil tussen getallen en vectoren aan te duiden, noemt men een getal ook wel een "scalair": de kentallen van een vector zijn scalairen. Wanneer men een vector ${\displaystyle \mathbf {a} }$ vermenigvuldigt met een scalair ${\displaystyle k}$, krijgt men een nieuwe vector ${\displaystyle k\mathbf {a} }$. De grootte van ${\displaystyle k\mathbf {a} }$ is ${\displaystyle |k||\mathbf {a} |}$ en de richting is gelijk aan die van ${\displaystyle \mathbf {a} }$ als ${\displaystyle k>0}$, en wordt omgekeerd als ${\displaystyle k<0}$. De volgende afbeelding illustreert de begrippen:

Hierbij is ${\displaystyle -\mathbf {a} }$ gelijk aan ${\displaystyle (-1)\cdot \mathbf {a} }$. Als ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ ten opzichte van een bepaalde basis, zal, ten opzichte van diezelfde basis, ${\displaystyle k\mathbf {a} =(ka_{1},ka_{2},ka_{3})}$.

De lengte, grootte of norm van de vector ${\displaystyle \mathbf {a} }$ wordt aangeduid door ${\displaystyle \|\mathbf {a} \|}$ of, minder gebruikelijk, met ${\displaystyle |\mathbf {a} |}$. De norm van een vector dient niet te worden verward met de absolute waarde (een scalaire "norm").

Deze correspondeert met het gewone afstandsbegrip, de euclidische afstand, het afstandsbegrip bepaald door het inproduct van vectoren (zie onder). De norm van de vector ${\displaystyle \mathbf {a} }$ kan worden berekend met:

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}}$

wat een gevolg is van de stelling van Pythagoras aangezien de basisvectoren ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ orthogonale eenheidsvectoren zijn.

Het inwendig product (ook wel inproduct, scalair product of dot product genoemd) van twee vectoren ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en ${\displaystyle \mathbf {b} }$ zegt iets over de hoek tussen de vectoren. Er geldt namelijk:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos {\theta }}$,

waarin ${\displaystyle \theta }$ de hoek tussen ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en ${\displaystyle \mathbf {b} }$ is. Soms wordt deze formule als definitie genomen en moet het begrip hoek al bekend zijn. Ook wordt als definitie wel gehanteerd:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}$,

waarin ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ en ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})}$.

De hoek ${\displaystyle \theta }$ tussen de vectoren ${\displaystyle \mathbf {a} }$ en ${\displaystyle \mathbf {b} }$ is dan:

${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|}}\right)}$.

Als minstens een van beide vectoren de nulvector is, is het inwendig product nul en de hoek onbepaald.

Voor twee vectoren ${\displaystyle {\vec {a}}}$ en ${\displaystyle {\vec {b}}}$ in de gewone drie-dimensionale euclidische vectorruimte bestaat ook het kruisproduct (ook wel vectorproduct, uitproduct, uitwendig product of vectorieel product genoemd)

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$.

Het kruisproduct is een vector loodrecht op beide vectoren met een grootte gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram gevormd door de beide vectoren, en de richting volgens de kurkentrekkerregel (ook rechterhandregel genoemd).

Uitgedrukt in de coördinaten van ${\displaystyle {\vec {a}}}$ en ${\displaystyle {\vec {b}}}$ luidt het kruisproduct:

${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}$.

Merk op dat het kruisproduct niet commutatief is, maar anticommutatief:

${\displaystyle {\vec {b}}\times {\vec {a}}=-({\vec {a}}\times {\vec {b}})}$.

De normalisering van een vector ${\displaystyle \mathbf {a} }$ in een eenheidsvector ${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} }$

Een eenheidsvector is een vector met een norm gelijk aan 1. Eenheidsvectoren worden vooral gebruikt om een richting aan te geven. Een vector met willekeurige norm ongelijk aan 0 kan worden gedeeld door zijn norm om zo een eenheidsvector te creëren. Dit proces staat bekend als het normaliseren van een vector. Een eenheidsvector wordt wel aangeduid met een dakje, zoals in ${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} }$ of ook door ${\displaystyle {\vec {e_{a}}}}$.

Om een vector ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ te normaliseren deelt men de vector door zijn lengte ${\displaystyle \|\mathbf {a} \|}$:

${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ={\frac {1}{\|\mathbf {a} \|}}\mathbf {a} =\left({\frac {a_{1}}{\|\mathbf {a} \|}},{\frac {a_{2}}{\|\mathbf {a} \|}},{\frac {a_{3}}{\|\mathbf {a} \|}}\right)}$

De nulvector is de vector met lengte nul. In de driedimensionale euclidische ruimte is het de vector met alle coördinaten gelijk aan 0, dus de vector (0,0,0). De nulvector wordt algemeen aangeduid met ${\displaystyle {\vec {0}}}$, met 0, of ook gewoon met 0. In tegenstelling tot enige andere vector, heeft de nulvector geen richting en kan niet worden genormaliseerd (dat wil zeggen dat er geen eenheidsvector is, die een veelvoud is van de nulvector). De som van de nulvector en enige vector ${\displaystyle \mathbf {a} }$ is ${\displaystyle \mathbf {a} }$ zelf, dat wil zeggen dat ${\displaystyle \mathbf {0} +\mathbf {a} =\mathbf {a} }$.

In de natuurkunde wordt onderscheid gemaakt tussen "scalaire grootheden" en "vectoriële grootheden". Het verschil is dat een scalaire grootheid geen richting heeft, en een vectoriële grootheid wel. Voorbeelden van scalaire grootheden uit de natuurkunde zijn: massa, volume, temperatuur, traagheidsmoment, elektrische potentiaal, zwaartekrachtspotentiaal.

Voorbeelden van vectoriële grootheden zijn:

• translatievector, verplaatsingsvector
• snelheid
• versnelling
• kracht
• impuls
• stoot
• impulsmoment
• krachtmoment

In de natuurkunde bestaan ook vectorvelden. Dit zijn velden in de ruimte, waar de grootte en richting van de vector in een punt ${\displaystyle (x,y,z)}$ een functie zijn van de positie ${\displaystyle (x,y,z)}$. Voorbeelden zijn:

• windveld: dit vectorveld geeft in elke locatie de windrichting en -sterkte aan.
• plaatsvector
• zwaartekrachtveld
• magneetveld
• elektrisch veld
• elektrische stroomdichtheid

Bij de meeste vectoren in de natuurkunde is de grootte (norm, zie boven) geen dimensieloos getal, maar een grootheid uit te drukken als een getal met een eenheid. In het geval van een windveld kan dit bijvoorbeeld 20 km/u zijn.