Voortbrengen (algebra en lineaire algebra)

In de algebra zegt men dat een groep ${\displaystyle H}$ voortgebracht wordt door een deelverzameling ${\displaystyle V}$ van een groep ${\displaystyle G}$, als ${\displaystyle H}$ de kleinste ondergroep van ${\displaystyle G}$ is die de verzameling ${\displaystyle V}$ omvat. Er bestaat altijd zo'n kleinste ondergroep, het is namelijk de doorsnede van alle ondergroepen van ${\displaystyle G}$ die ${\displaystyle V}$ omvatten. Men noemt ${\displaystyle V}$ een genererende verzameling van ${\displaystyle H.}$

Binnen de lineaire algebra zegt men dat een stelsel vectoren ${\displaystyle S}$ uit een vectorruimte ${\displaystyle V}$ de deelruimte ${\displaystyle U}$ van ${\displaystyle V}$ voortbrengt, als ${\displaystyle U}$ bestaat uit alle lineaire combinaties van de vectoren in ${\displaystyle S,}$

Men noemt ${\displaystyle U}$ de lineaire deelruimte die wordt voortgebracht door ${\displaystyle S,}$, of erdoor wordt opgespannen, en noteert:

${\displaystyle U=\mathrm {span} (S).}$

In het geval dat ${\displaystyle S=\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}}$ eindig is, zegt men ook:

${\displaystyle U=\mathrm {span} (S)=\mathrm {span} (v_{1},\ldots ,v_{m}).}$

De door ${\displaystyle S}$ voortgebrachte ruimte ${\displaystyle U}$ wordt het lineair omhulsel van ${\displaystyle S}$ genoemd.

Als het genoemde stelsel vectoren ${\displaystyle S}$ lineair onafhankelijk is, dan is ${\displaystyle S}$ een basis van de voortgebrachte deelruimte ${\displaystyle U.}$

Meer algemeen geldt: als de vectorruimte ${\displaystyle U}$ wordt voortgebracht door het stelsel ${\displaystyle S}$, dan bevat ${\displaystyle S}$ een basis van ${\displaystyle U.}$

De door ${\displaystyle S}$ voortgebrachte ruimte ${\displaystyle U}$ verandert niet

• als men aan ${\displaystyle S}$ een vector uit ${\displaystyle U}$ toevoegt;
• als men een vector uit ${\displaystyle S}$ die een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit ${\displaystyle S}$, weglaat;
• als men in ${\displaystyle S}$ een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal (scalair);
• als men bij een vector uit ${\displaystyle S}$, een andere vector uit ${\displaystyle S}$ optelt.