Variëteit (wiskunde)

De cirkel is een eenvoudig, niet-triviaal voorbeeld van een topologische variëteit. Topologie zegt niets over kromming, dus wordt een klein stukje van een cirkel op precies dezelfde manier behandeld als een klein stukje van een lijn. Beschouw bijvoorbeeld de bovenste helft van de eenheidscirkel, beschreven door de vergelijking ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ in het cartesisch coördinatenstelsel met ${\displaystyle y>0}$ (symbolisch aangegeven door de gele boog in figuur 1). Elk punt ${\displaystyle (x,y)=(x,{\sqrt {1-x^{2}}})}$ van deze halve cirkel wordt uniek beschreven door zijn ${\displaystyle x}$-coördinaat. De projectie op de ${\displaystyle x}$-as is een continue en inverteerbare, afbeelding van de open bovenste halve cirkel op het interval ${\displaystyle (-1,1)}$.

Zo'n functie wordt samen met het open gebied een kaart genoemd. Op gelijke wijze bestaan er kaarten voor de onderste- (rood), linker- (blauw) en rechter (groene) delen van de cirkel. Samen bedekken deze onderdelen de gehele cirkel en de vier kaarten vormen samen een atlas voor de cirkel.

De bovenste- en rechterkaart overlappen; hun doorsnede ligt in het kwart van de cirkel waar zowel de ${\displaystyle x}$- als de ${\displaystyle y}$-coördinaten positief zijn. De twee kaarten ${\displaystyle \chi _{\text{boven}}}$ en ${\displaystyle \chi _{\text{rechts}}}$ beelden elk dit deel af op het interval ${\displaystyle (0,1)}$.

${\displaystyle \chi _{\text{boven}}(x,{\sqrt {1-x^{2}}})=x}$

${\displaystyle \chi _{\text{rechts}}({\sqrt {1-y^{2}}},y)=y}$

Het is dus mogelijk de inverse van de bovenste kaart te gebruiken om vanuit een punt in ${\displaystyle (0,1)}$ de cirkel te bereiken en dan via de rechterkaart terug te gaan naar het interval. De functie ${\displaystyle T:(0,1)\to (0,1)}$ die dit beschrijft heet transitie-afbeelding:

${\displaystyle {\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {rechts} }\left(\chi _{\mathrm {boven} }^{-1}(a)\right)\\&=\chi _{\mathrm {rechts} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}.\end{aligned}}}$

Figuur 2: Kaart van een cirkel als variëteit, gebaseerd op helling, die op één punt na de hele cirkel dekt

De bovengenoemd kaarten vormen niet de enige atlas. Een kaart hoeft niet per se een projectie te zijn en het aantal kaarten is een kwestie van keuze. Zo zijn er ook de kaarten:

${\displaystyle \chi _{\text{minus}}(x,y)={\frac {y}{1+x}}=s}$

en

${\displaystyle \chi _{\text{plus}}(x,y)={\frac {y}{1-x}}=t}$

Daarin is ${\displaystyle s}$ de helling van de lijn door het vaste "draaipunt" ${\displaystyle (-1,0)}$ en het punt ${\displaystyle (x,y)}$ op de cirkel. Analoog is ${\displaystyle t}$ bepaald t.o.v. het draaipunt ${\displaystyle (1,0)}$

Deze twee kaarten vormen ook een atlas met een transitieafbeelding

${\displaystyle t=T(s)={\frac {1}{s}}}$

Beide kaarten zijn niet gedefinieerd in één punt, namelijk hun draaipunt, zodat elke kaart alleen onvoldoende is om de hele cirkel te dekken. Het kan worden bewezen dat het niet mogelijk is de hele cirkel met een enkele kaart te beschrijven.

De sfeer is een voorbeeld van een oppervlak. De eenheidssfeer, beschreven door de vergelijking:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

kan overdekt worden door een atlas met zes kaarten voor de halve sferen ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle x<0}$, ${\displaystyle y>0}$, ${\displaystyle y<0}$, ${\displaystyle z>0}$ en ${\displaystyle z<0}$ die elk op een open cirkelschijf geprojecteerd kunnen worden. Bijvoorbeeld kan de halve sfeer ${\displaystyle z>0}$ geprojecteerd worden op de schijf ${\displaystyle x^{2}+y^{2}<1}$ in het ${\displaystyle xy}$-vlak.

Net als bij de cirkel is het mogelijk de gehele sfeer op één punt na af te beelden op één kaart. In principe is dus een atlas met twee kaarten voldoende.

Dit voorbeeld is historisch van belang, aangezien het aanleiding gaf tot de gebruikte terminologie. Het was namelijk duidelijk geworden dat de Aarde niet op één enkele kaart voorgesteld zou kunnen worden, zodat een atlas van kaarten nodig is.

Zij ${\displaystyle n}$ een positief natuurlijk getal. Een topologische variëteit van dimensie ${\displaystyle n}$ is een topologische ruimte die voldoet aan het scheidingsaxioma ${\displaystyle T_{2}}$ (Hausdorff) en aan het aftelbaarheidsaxioma ${\displaystyle A_{2}}$, en waarin elk punt een omgeving heeft die homeomorf is met de Euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Topologische variëteiten worden bestudeerd in de tak van de wiskunde die algebraïsche topologie heet.

Elke open deelverzameling ${\displaystyle G}$ van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is op triviale wijze een topologische variëteit, want rond elk punt ${\displaystyle g\in G}$ ligt een open bol binnen ${\displaystyle G}$ en ${\displaystyle n}$-dimensionale open bollen zijn homeomorf (zelfs diffeomorf) met ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Een eenvoudige, maar niet triviale variëteit is de ${\displaystyle n}$-sfeer, dit is de rand van de ${\displaystyle (n+1)}$-dimensionale bol met middelpunt 0 en straal 1:

${\displaystyle S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1};\|x\|=1\}}$

In elk punt ${\displaystyle x\in S^{n}}$ bestaat er een uniek ${\displaystyle n}$-dimensionaal raakhypervlak. Dit raakhypervlak ${\displaystyle H_{x}}$ is isometrisch (en dus zeker homeomorf en diffeomorf) met ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. De centrale projectie vanuit het tegenoverliggende punt ${\displaystyle (-x)}$ op ${\displaystyle H_{x}}$ is een homeomorfisme (diffeomorfisme) tussen ${\displaystyle S^{n}\setminus \{-x\}}$ en ${\displaystyle H_{x}}$.

Een gladde variëteit (ook: differentieerbare variëteit of ${\displaystyle C^{\infty }}$-variëteit) is een topologische variëteit ${\displaystyle (M,A)}$ met een differentieerbare" dat wil zeggen ${\displaystyle C^{\infty }}$-atlas ${\displaystyle A}$, waarvan dus de transitieafbeeldingen willekeurig vaak differentieerbaar zijn.

Gladde variëteiten zijn het studieobject van de differentiaaltopologie.

Bovenstaande voorbeelden van topologische variëteiten kunnen zonder problemen worden geïnterpreteerd als gladde variëteiten.

Elke gladde variëteit beschikt over de belangrijke bijkomende structuur van een raakruimte in ieder punt en de bijhorende rakende bundel.

De topologische structuur van een gladde variëteit legt de differentieerbare structuur niet op unieke wijze vast. Er bestaan gladde variëteiten die niet diffeomorf zijn met elkaar, maar waarvan de onderliggende topologische variëteiten wel homeomorf zijn. Dit is onder meer het geval met de topologische variëteit ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Men spreekt van exotische differentiaalstructuren op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ om ze te onderscheiden van de triviale gladde structuur uit het voorbeeld hierboven.

Iets soortgelijks doet zich voor in de ${\displaystyle S^{7}}$, de zevendimensionale sfeer.

Een continue afbeelding ${\displaystyle f:M\to N}$ tussen twee gladde variëteiten van dimensie ${\displaystyle m}$ resp. ${\displaystyle n}$ heet glad als haar samenstelling met willekeurige kaarten (of hun inverse) op ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle N}$, een onbeperkt differentieerbare afbeelding ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ oplevert.

Een diffeomorfisme is een bijectie tussen gladde variëteiten die in beide richtingen een gladde afbeelding is. Dat deze laatste eis niet overbodig is, toont de afbeelding

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto x^{3}}$

Deze is een onbeperkt differentieerbaar homeomorfisme van de reële getallen naar zichzelf, maar de inverse is niet differentieerbaar in 0.

De doorsnede van twee deelvariëteiten van een gladde variëteit is in het algemeen geen variëteit; dit is echter wel gegarandeerd als de twee deelvariëteiten elkaar transversaal snijden.