Wiskundige structuur

In de wiskunde zegt men dat een verzameling een structuur heeft als er, behalve de verzamelingtheoretische begrippen, nog andere begrippen op van toepassing zijn, zoals de afstand tussen de elementen van een verzameling, de optelling van de elementen, of de volgorde van de elementen.

Een gedeeltelijke lijst van mogelijke structuren is: maten, algebraïsche structuren (groepen, velden, enz.), topologieën, metrische ruimten, meetkunden, ordeningen, equivalentierelaties en differentiële structuren.

Soms is een verzameling uitgerust met meer dan één structuur. Dit stelt wiskundigen in staat deze verzameling op meerdere manieren te bestuderen. Bijvoorbeeld: een orde induceert een topologie. Een ander voorbeeld: als een verzameling zowel een topologie heeft als een groep is, en deze twee structuren op een bepaalde manier aan elkaar gerelateerd zijn, is deze verzameling een topologische groep.

Afbeeldingen tussen verzamelingen die structuren behouden (zodat structuren in het domein worden afgebeeld op equivalente structuren in het codomein), zijn in vele gebieden van de wiskunde van bijzonder belang. Voorbeelden hiervan zijn homomorfismen, die algebraïsche structuren behouden, homeomorfismen, die topologische structuren behouden, en diffeomorfismen, die differentiële structuren behouden.

Voorbeeld: de reële getallen

De verzameling van reële getallen kent verschillende standaardstructuren:

een orde: van twee verschillende getallen is de ene groter of kleiner dan de andere.
algebraïsche structuur: er zijn bewerkingen van vermenigvuldiging en optellen die deze verzameling tot een lichaam (Belgische term: veld) maken.
een maat: intervallen op de reële rechte hebben een zekere lengte, die op veel van zijn deelverzamelingen kan worden uitgebreid tot de Lebesgue-maat.
een metriek: tussen punten bestaat een afstandsbegrip.
een topologie: er bestaat een notie van open verzamelingen.

Tussen deze standaardstructuren bestaan de volgende verbindingen:

de orde en de metriek induceren ieder apart haar topologie (dezelfde).
de orde en algebraïsche structuur maken het tot een geordend lichaam.
de algebraïsche structuur en topologie maken het tot een Lie-groep, een type van een topologische groep.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.