Algebra (structuur)

De ${\displaystyle n\times n}$-matrices vormen een algebra met de vermenigvuldiging van matrices.

Indien de matrixelementen uit het lichaam ${\displaystyle K}$ komen, vormen deze matrices een ${\displaystyle K}$-algebra.

De reële vectorruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ met het kruisproduct is een algebra:

${\displaystyle (a,b,c)\times (x,y,z)=\left({\begin{vmatrix}b&c\\y&z\\\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}c&a\\z&x\\\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}a&b\\x&y\\\end{vmatrix}}\right)}$

Ook de verzameling polynomen in één variabele is een algebra voor de gewone optelling en vermenigvuldiging van polynomen. Hetzelfde geldt ook voor polynomen in meer, in ${\displaystyle n}$ variabelen. Als de coëfficiënten element van het lichaam ${\displaystyle K}$ zijn, vormen ${\displaystyle K[x]}$ respectievelijk ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ een ${\displaystyle K}$-algebra. ${\displaystyle K[x]}$ is de verzameling polynomen in de variabele ${\displaystyle x}$ met coëfficiënten in het lichaam ${\displaystyle K}$.

Matrixvermenigvuldiging is associatief.

Het vectorproduct in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ is niet associatief. Noteer ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$ voor de canonieke orthonormale basis, dan geldt

${\displaystyle (e_{1}\times e_{2})\times e_{2}=-e_{1}}$

${\displaystyle e_{1}\times (e_{2}\times e_{2})=0}$

Vermenigvuldiging van veeltermen is associatief en commutatief.

De tensoralgebra ${\displaystyle T(V)}$ van een willekeurige vectorruimte ${\displaystyle V}$ is een associatieve algebra. Hij wordt ook de vrije algebra over ${\displaystyle V}$ genoemd.