Quaternion

Stenen gedenkplaat in Dublin, met daarin door Hamilton de vermenigvuldigingsregels voor quaternionen gekrast.

Een quaternion q wordt voorgesteld door vier reële getallen a, b, c en d:

${\displaystyle q=a+b\cdot i+c\cdot j+d\cdot k}$.

waarin naast de eenheden 1 en i die al bekend zijn uit de complexe getallen nog twee eenheden j en k voorkomen. Optellen en vermenigvuldigen met quaternionen gaat hetzelfde als bij de reële getallen. De eenheden zijn onder de vermenigvuldiging commutatief met de reële getallen, maar niet onderling. Voor de eenheden gelden de volgende rekenregels:

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=i\cdot j\cdot k=-1}$

en daaruit volgt ook dat:

${\displaystyle i\cdot j=-j\cdot i=k}$

${\displaystyle j\cdot k=-k\cdot j=i}$

${\displaystyle k\cdot i=-i\cdot k=j}$

Met de rekenregels kan het product van twee quaternionen x en y berekend worden:

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}\cdot i+c_{1}\cdot j+d_{1}\cdot k)\cdot (a_{2}+b_{2}\cdot i+c_{2}\cdot j+d_{2}\cdot k)=}$

${\displaystyle =(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2})}$

${\displaystyle +\ (a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\cdot i}$

${\displaystyle +\ (a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})\cdot j}$

${\displaystyle +\ (a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})\cdot k.}$

De vermenigvuldiging van quaternionen is inderdaad niet commutatief, want xy is niet altijd hetzelfde als yx. Dit lijkt op het eerste gezicht bijzonder, maar dit is bijvoorbeeld ook het geval voor matrices.

De quaternionen kunnen als een niet-commutatief getallenlichaam worden gezien in vier dimensies, waarvan 1 en de eenheden i, j en k de vier eenheidsvectoren vormen. De twee bewerkingen zijn optellen en vermenigvuldigen.

De getallen 1 en −1, samen met de drie eenheden i, j en k en hun tegengestelden −i, −j en −k, vormen onder de bewerking vermenigvuldiging een groep: de quaternionengroep.

De quaternionen zelf kunnen weer uitgebreid worden naar octonionen, maar de bewerking van de octonionen is niet meer associatief.

Net als bij complexe getallen kan er een norm of lengte aan een quaternion toegekend worden:

${\displaystyle |q|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$

Er is ook een geconjugeerde quaternion

${\displaystyle q*=a-b\cdot i-c\cdot j-d\cdot k}$.

Bovendien is ${\displaystyle q^{*}q=|q|^{2}}$.

• Een quaternion van lengte 1 is een eenheidsquaternion.
• Een quaternion waarvan het reële deel a nul is is een pure quaternion.
• Een pure eenheidsquaternion ${\displaystyle u}$ combineert deze twee eigenschappen

Pure quaternionen kunnen als driedimensionale vectoren worden gezien en pure eenheidsquaternionen vormen een bol met straal 1 in deze ruimte.

Naar analogie met de formule van Euler bij complexe getallen:

${\displaystyle e^{i\alpha }=z=\cos(\alpha )+\sin(\alpha )\cdot i}$

kan iedere eenheidsquaternion geschreven worden als

${\displaystyle q=\cos(\alpha )+\sin(\alpha )\cdot |q|}$

waarin ${\displaystyle u}$ een pure eenheidsquaternion is.

Eenheidsquaternionen vormen een groep die isomorf is met de groep van alle rotaties in drie dimensies. Dat wil zeggen dat zij onderling hetzelfde gedrag vertonen bij vermenigvuldiging. Daarom kunnen zij gebruikt worden om een punt (x, y, z) in de ruimte te roteren om een as in deze ruimte.

Daartoe wordt de pure quaternion p = (0, x, y, z) genomen alsmede een rotatiequaternion ${\displaystyle q}$. Daartoe wordt de pure eenheidsquaternion ${\displaystyle u}$ genomen in de vectoriële richting van de rotatieas en gecombineerd met de cosinus en sinus van de halve draaiinghoek rond de as.

De rotatie is dan uit te rekenen met het product : p = q* p q.

De nieuwe quaternion ${\displaystyle p}$ is opnieuw een pure quaternion ${\displaystyle (0,x,y,z)}$ die de coördinaten van het nieuwe punt bevat.

Er zijn andere manieren om rotaties uit te voeren, bijvoorbeeld met de hoeken van Euler, maar die hebben bij de berekening een nadeel: er ontstaat een pool, een singulier punt waar de hoeken niet meer eenduidig bepaald zijn. Dit probleem staat bekend als gimbal lock. Rotaties met behulp van quaternionen hebben dit probleem niet en dat is de voornaamste reden waarom deze wiskunde die meer dan een eeuw vrijwel ongebruikt in de kast gelegen had zich sinds de jaren 1990 in hernieuwde belangstelling mag verheugen.