Euclidische ruimte

Het begrip euclidisch verwijst naar de ruimte zoals deze in de Elementen van Euclides door axioma's en postulaten wordt beschreven (zie ook euclidische meetkunde). Tot in de 19de eeuw werd vanzelfsprekend aangenomen dat de euclidische ruimte de ruimte beschrijft, waarin alle waarneembare fenomenen zich afspelen. De toevoeging "euclidisch" werd nodig, nadat in de wiskunde algemenere ruimteconcepten werden geïntroduceerd, bijvoorbeeld de hyperbolische ruimte, de riemann-variëteiten en het in het kader van de speciale en algemene relativiteitstheorie nodig bleek om voor de beschrijving van de ruimte in de natuurkunde andere ruimtebegrippen te gebruiken, zoals de minkowski-ruimte en de lorentz-variëteit.

Een manier om het euclidische vlak te overdenken is als een verzameling van punten, die aan bepaalde relaties voldoen. Deze relaties zijn uit te drukken in termen van afstanden en hoeken. Er zijn bijvoorbeeld twee fundamentele operaties op het vlak. Een daarvan is translatie, wat een verschuiving over het vlak betekent, zodat elk punt in dezelfde richting en met dezelfde afstand wordt verschoven. De andere is rotatie over een vast punt in het vlak, waarin elk punt in het vlak met dezelfde hoek over dat vaste punt draait. Een van de grondbeginselen van de euclidische meetkunde is dat twee figuren (dat wil zeggen, deelverzamelingen) van het vlak als equivalent (congruent) moeten worden beschouwd, als een figuur in de ander kan worden getransformeerd door een bepaalde opeenvolging van translaties, rotaties en spiegelingen. (Zie euclidische groep.)

In de loop der tijden werd de meetkunde van Euclides en dus ook zijn ruimtebegrip op verschillende manier gepresenteerd en veralgemeend:

• axiomatisch door David Hilbert (zie Hilberts axiomasysteem van de euclidische meetkunde)
• als euclidische vectorruimte (een vectorruimte met inwendig product)
• als euclidische puntruimte (een affiene ruimte die over een euclidische vectorruimte gemodelleerd is)
• als coördinatenruimte in de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ met het standaardinproduct.

Al deze zienswijzen op het ruimtebegrip zijn op zich gelijkwaardig. Als men over een euclidische ruimte spreekt, kan het, afhankelijk van de context, over elk van deze vier begrippen gaan, maar ook om meerdimensionale generalisaties van de euclidische ruimte (vier of meer dimensies). De tweedimensionale euclidische ruimte noemt men ook wel het het euclidische vlak.

De euclidische ruimte onderscheidt zich van de affiene ruimte door het feit dat men in de euclidische ruimte een betekenis toekent aan de begrippen lengte en hoek, waardoor men deze kan meten en hierdoor met afbeeldingen kan werken, waarin 'gemeten' lengten en hoeken voorkomen. Een euclidische ruimte kan gezien worden als een affiene ruimte, waarin een begrip afstand bepaald wordt door de euclidische afstand. Een euclidische ruimte is een bijzonder geval van een metrische ruimte en kent in tegenstelling tot deze congruentie en isometrie.

In tegenstelling tot de hyperbolische ruimte geldt in de euclidische meetkunde wel het parallellenpostulaat.

Laat ${\displaystyle \mathbb {R} }$ het lichaam (Ned) / veld (Be) van de reële getallen aanduiden. Voor alle niet-negatieve gehele getallen ${\displaystyle n,}$ vormt de ruimte van alle ${\displaystyle n}$-tupels van reële getallen een ${\displaystyle n}$-dimensionale vectorruimte over ${\displaystyle \mathbb {R} }$, die wordt aangeduid met ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ en ook wel de reële coördinatenruimte wordt genoemd. Een element van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ wordt geschreven als

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

waarin iedere ${\displaystyle x_{i}}$ een reëel getal is dat kental van ${\displaystyle x}$ genoemd wordt. De vectorruimte-operaties op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ worden gedefinieerd door

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n}),}$

${\displaystyle a\,(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(ax_{1},ax_{2},\ldots ,ax_{n}).}$

De standaardbasis van de vectorruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bestaat uit de eenheidsvectoren:

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0,\ldots ,0,0)}$

${\displaystyle e_{2}=(0,1,0,\ldots ,0,0)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle e_{n}=(0,0,0,\ldots ,0,1)}$

Een willekeurige vector in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ kan geschreven worden in de vorm van een lineaire combinatie van de vectoren uit de standaardbasis, met als coëfficiënten de bijbehorende kentallen:

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$

De kentallen zijn dus ook de coördinaten van ${\displaystyle x}$ ten opzichte van de standaardbasis. Elk van de vectoren ${\displaystyle x_{i}e_{i}}$ heet een component van de vector ${\displaystyle x}$ in de ontbinding met betrekking tot de standaardbasis.

De ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is het prototypische voorbeeld van een reële ${\displaystyle n}$-dimensionale vectorruimte. In feite is elke reële ${\displaystyle n}$-dimensionale vectorruimte ${\displaystyle V}$ isomorf met ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Dit isomorfisme is echter niet kanoniek. Een keuze van isomorfisme is equivalent met een keuze van basis voor ${\displaystyle V}$ (door naar het beeld van de standaardbasis voor ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ in ${\displaystyle V}$ te kijken). De reden voor het werken met willekeurige vectorruimten in plaats van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is dat het vaak de voorkeur verdient om op een coördinaten-vrije manier te werken (dat is zonder een voorkeursbasis te kiezen).

Euclidische ruimte is meer dan alleen een reële coördinatenruimte. Voor de toepassing van de euclidische meetkunde moet men in staat zijn om over afstanden tussen punten en de hoeken tussen lijnen of vectoren te praten. De natuurlijke manier om deze grootheden te verkrijgen is door de invoering en het gebruik van het standaard inwendig product op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Het inwendig product van twee willekeurige vectoren ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ wordt gedefinieerd als

${\displaystyle x\cdot y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{n}.}$

Het resultaat is altijd een reëel getal. Verder is het inwendig product van ${\displaystyle x}$ met zichzelf altijd niet-negatief. Dit product staat ons toe om het begrip "lengte" van een vector ${\displaystyle x}$ te definiëren als

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x\cdot x}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}.}$

Deze lengtefunctie voldoet aan de vereiste eigenschappen van een norm en wordt de euclidische norm op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ genoemd.

De (niet-reflexieve) hoek ${\displaystyle \theta \ (0^{\circ }\leq \theta \leq 180^{\circ })}$ tussen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ wordt dan gegeven door

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\frac {x\cdot y}{\|x\|\|y\|}}\right)}$

waar ${\displaystyle \cos ^{-1}}$ de boogcosinus-functie is.

Ten slotte kan men gebruikmaken van de norm om een metriek (of afstandsfunctie) op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ te definiëren door

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$

Deze afstandsfunctie wordt de euclidische metriek genoemd. Zij kan als een vorm van de stelling van Pythagoras worden gezien.

Een reële coördinerenruimte wordt een euclidische ruimte genoemd en wordt vaak aangeduid met ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$. (Veel auteurs verwijzen naar ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zelf als de euclidische ruimte, waar de euclidische structuur impliciet wordt gelaten). De euclidische structuur maakt ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ een inwendig-productruimte (in feite een hilbertruimte), een genormeerde vectorruimte en een metrische ruimte.

Rotaties van de euclidische ruimte worden dan gedefinieerd als oriëntatie-bewarende lineaire transformaties ${\displaystyle T}$ die hoeken en lengtes onveranderd laten:

${\displaystyle Tx\cdot Ty=x\cdot y,}$

${\displaystyle \|Tx\|=\|x\|.}$

In de taal van de matrices zijn rotaties speciale orthogonale matrices.

Aangezien de euclidische ruimte een metrische ruimte is, is het ook een topologische ruimte, waar de natuurlijke topologie geïnduceerd wordt door de metriek. De metrische topologie op ${\displaystyle \mathbb {E} }$ⁿ wordt de euclidische topologie genoemd. Een verzameling is dan en slechts dan open in de euclidische topologie als zij een open bal rond elk van haar punten bevat. De euclidische topologie blijkt gelijkwaardig te zijn aan de producttopologie op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, beschouwd als een product van ${\displaystyle n}$ exemplaren van de reële lijn ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (met haar standaardtopologie).

Een belangrijk, verre van oppervlakkig resultaat over de topologie van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, is Brouwers domeininvariantie-resultaat. Enige deelverzameling van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (met haar deelruimtetopologie), die homeomorf is met een andere open deelverzameling van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ is zelf ook een open verzameling. Een direct gevolg hiervan is dat ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ niet homeomorf is met ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ als ${\displaystyle m\neq n;}$ een intuïtief "duidelijk" resultaat dat niettemin zeer moeilijk te bewijzen is.

In de moderne wiskunde vormen euclidische ruimten de prototypes voor andere, meer gecompliceerde meetkundige objecten. Een gladde variëteit is bijvoorbeeld een Hausdorff topologische ruimte, die lokaal diffeomorf is met de euclidische ruimte. Diffeomorfismen hebben geen respect voor afstand en hoek, zodat deze sleutelconcepten van de euclidische meetkunde in een gladde variëteit verloren gaan. Als men echter in aanvulling hierop een "glad" variërend inwendig product op de raakruimten van de variëteit voorschrijft, dan is het resultaat wat men een riemann-variëteit noemt. Anders gezegd is een riemann-variëteit een ruimte, die wordt geconstrueerd door het vervormen en samenstellen van euclidische ruimten. In een dergelijke ruimte hebben de noties van afstand en hoek betekenis, maar zij gedragen zich op een gekromde, niet-euclidische wijze. De eenvoudigste Riemann-variëteit, die bestaat uit ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ met een constant inwendig product, is in essentie identiek aan de euclidische ${\displaystyle n}$-ruimte zelf.

Indien men een euclidische ruimte verandert, zodat haar inwendig product in een of meer richtingen negatief wordt, dan wordt het resultaat een pseudo-euclidische ruimte genoemd. Gladde variëteiten, die uit dergelijke ruimten zijn opgebouwd, worden pseudo-riemann-variëteiten genoemd. Misschien wel hun meest bekende toepassing is de relativiteitstheorie, waar lege ruimtetijd, die geen materie bevat, door de vlakke pseudo-euclidische ruimte wordt weergegeven, die men ook wel de minkowski-ruimte noemt. Ruimtetijden, die wel materie bevatten. vormen andere pseudo-riemann-variëteiten, waar de zwaartekracht correspondeert met de kromming van een dergelijke variëteit.

Ons relativistisch universum is niet euclidisch. Dit wordt belangrijk in de theoretische overwegingen binnen de astronomie en de kosmologie, en ook in een aantal praktische problemen, zoals global positioning en vliegtuignavigatie. Niettemin kan een euclidisch model van het universum nog steeds met voldoende nauwkeurigheid worden ingezet bij de oplossing van tal van andere praktische problemen.

• Metrische ruimte
• Riemann-meetkunde
• Euclidische deelruimte
• Cartesisch coördinatenstelsel
• Poolcoördinaten
• Hilbert-ruimte