Kardinaliteit

Men kan de volgende drie gevallen onderscheiden:

• ${\displaystyle |A|=|B|}$

Twee verzamelingen ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ hebben dezelfde kardinaliteit als er een bijectie bestaat van ${\displaystyle A}$ naar ${\displaystyle B}$.

De verzameling ${\displaystyle E=\{2,4,6,\ldots \}}$ van even natuurlijke getallen heeft dezelfde kardinaliteit als de verzameling ${\displaystyle \mathbb {N} }$ van natuurlijke getallen zelf, aangezien de functie ${\displaystyle f(n)=2n+2}$ een bijectie is van ${\displaystyle \mathbb {N} }$ naar ${\displaystyle E}$.

• ${\displaystyle |A|>|B|}$

${\displaystyle A}$ heeft een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinaliteit van ${\displaystyle B}$ als er een injectie van ${\displaystyle B}$ naar ${\displaystyle A}$ bestaat, maar geen bijectie.

De verzameling ${\displaystyle \mathbb {R} }$ van alle reële getallen heeft bijvoorbeeld een kardinaliteit die strikt groter is dan de kardinaliteit van de verzameling ${\displaystyle \mathbb {N} }$ van alle natuurlijke getallen, omdat de inclusieafbeelding ${\displaystyle i:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ injectief is, en het kan worden aangetoond dat er geen bijectieve functie van ${\displaystyle \mathbb {N} }$ naar ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bestaat.

• ${\displaystyle |A|\geq |B|}$

${\displaystyle A}$ heeft een kardinaliteit groter dan of gelijk aan de kardinaliteit van ${\displaystyle B}$ als er een injectie van ${\displaystyle B}$ naar ${\displaystyle A}$ bestaat.

De relatie dat twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben wordt gelijkmachtigheid genoemd; gelijkmachtigheid is een equivalentierelatie op de klasse van alle verzamelingen. De equivalentieklasse van een verzameling ${\displaystyle A}$ bestaat onder deze relatie uit al die verzamelingen die dezelfde kardinaliteit als ${\displaystyle A}$ hebben. Er zijn twee manieren om de "kardinaliteit van een verzameling" te definiëren:

1. De kardinaliteit van een verzameling ${\displaystyle A}$ wordt gedefinieerd als haar equivalentieklasse onder gelijkmachtigheid.
2. Er wordt voor elke equivalentieklasse een representatieve verzameling aangewezen.

De kardinaliteiten van de oneindige verzamelingen worden aangeduid door

${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\ldots }$ .

Voor elke ordinaal ${\displaystyle \alpha }$, is ${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}}$ het kleinste kardinaalgetal groter dan ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$.

Van een eindige verzameling is de kardinaliteit het aantal elementen in de verzameling; ook omgekeerd geldt: als de kardinaliteit van een verzameling een natuurlijk getal is, is die verzameling eindig. En twee eindige verzamelingen hebben dezelfde kardinaliteit als ze hetzelfde aantal elementen hebben.

Een oneindige verzameling heeft altijd een hogere kardinaliteit dan een eindige (dat wil zeggen, we kunnen elk element van de eindige verzameling op één element van de oneindige verzameling afbeelden, maar omgekeerd kan dat niet). De laagste oneindige kardinaliteit is die van de natuurlijke getallen; deze kardinaliteit wordt ${\displaystyle \scriptstyle {\aleph _{0}}}$ (alef-nul) genoemd. Verzamelingen met deze kardinaliteit heten aftelbaar oneindig. Het diagonaalbewijs van Cantor toont aan dat er ook hogere kardinaliteiten bestaan; deze worden ook met een alef-getal aangegeven: ${\displaystyle \aleph _{0},\,\aleph _{1},\,\aleph _{2},\,\ldots ,\,\aleph _{\omega },\,\ldots }$.

In de informatica slaat kardinaliteit doorgaans op relaties tussen tabellen of associaties tussen klassen/objecten. Dan is dit het aantal keer dat een relatie/associatie voor kan/mag komen. Dit kan bijvoorbeeld zijn: 0 of meer, 1 of meer, 1, 2, 100, 1 tot 20.

• Aantal
• Eindig lichaam