Lichaam (Ned) / Veld (Be)

Een lichaam of veld is een verzameling die is uitgerust met de bewerkingen optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling (men mag niet delen door nul), waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is (het resultaat van een bewerking moet weer een element zijn van de verzameling) en bovendien optelling en de vermenigvuldiging beide associatief en commutatief zijn. Bovendien is de vermenigvuldiging distributief ten opzichte van de optelling.

Meer formeel is een lichaam/veld een tripel ${\displaystyle (K,+,*)}$ bestaande uit een niet-lege verzameling ${\displaystyle K}$ waarop twee bewerkingen: een optelling, aangeduid met het symbool +, en een vermenigvuldiging, aangeduid door *, zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden. De optelling van twee elementen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ uit ${\displaystyle K}$ noteert men meestal met ${\displaystyle a+b}$ en de vermenigvuldiging van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ met ${\displaystyle a*b}$ of kortweg ${\displaystyle ab}$. De vermenigvuldiging wordt ook wel genoteerd met ${\displaystyle \,\cdot \,}$ of ${\displaystyle \times }$ en het product dienovereenkomstig met respectievelijk ${\displaystyle a\cdot b}$ of ${\displaystyle a\times b}$.

De voorwaarden waaraan de optelling en de vermenigvuldiging moeten voldoen zijn:

1. Voor alle elementen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle K}$, behoren ook ${\displaystyle a+b}$ en ${\displaystyle a*b}$ tot ${\displaystyle K}$.

   ${\displaystyle K}$ is gesloten voor de optelling en de vermenigvuldiging. Of ook: zowel de optelling als de vermenigvuldiging zijn intern over ${\displaystyle K}$.

2. Voor alle elementen ${\displaystyle a,\,b}$ en ${\displaystyle c}$ uit ${\displaystyle K}$, is ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ en ${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$.

   De optelling en de vermenigvuldiging zijn associatief.

3. Er bestaat in ${\displaystyle K}$ een element 0 zodat voor alle ${\displaystyle a}$ uit ${\displaystyle K}$ geldt dat ${\displaystyle a+0=0+a=a}$.

   Men noemt 0 het neutraal element, voor de optelling.

4. Voor elk element ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle K}$ bestaat er een element ${\displaystyle -a}$ in ${\displaystyle K}$, zodat ${\displaystyle a+(-a)=0}$ en ${\displaystyle -a+a=0}$.

   Ieder element in ${\displaystyle K}$ heeft een invers element voor de optelling.

5. Voor alle elementen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle K}$ is ${\displaystyle a+b=b+a}$.

   De optelling is commutatief.

6. Voor alle elementen ${\displaystyle a,\,b}$ en ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle K}$ is ${\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c}$.

   De vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling.

7. Er bestaat in ${\displaystyle K}$ een element 1 zodat voor elk element ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle K}$ geldt dat ${\displaystyle 1*a=a*1=a}$.

   Dit element is dus neutraal element voor de vermenigvuldiging. 1 heet het eenheidselement van ${\displaystyle K}$.

8. Voor elke element ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle K}$ met ${\displaystyle a}$ verschillend van ${\displaystyle 0}$, bestaat er een element ${\displaystyle a^{-1}}$ in ${\displaystyle K}$ zodat ${\displaystyle a*a^{-1}=1=a^{-1}*a}$.

   Elk niet-nul element in ${\displaystyle K}$ heeft een invers element voor de vermenigvuldiging.

9. Voor alle elementen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle K}$ is ${\displaystyle a*b=b*a}$.

   De vermenigvuldiging is commutatief.

10. 0 is niet gelijk aan 1.

Zonder de laatste voorwaarde zou de verzameling die slechts één element bevat, namelijk het element ${\displaystyle 0}$, een lichaam zijn, en dat is ongewenst.

De voorwaarden 1 tot en met 6 drukken uit dat ${\displaystyle (K,+,*)}$ ook een ring is. Wordt aan alle bovengenoemde voorwaarden voldaan, behalve dat de vermenigvuldiging commutatief is (voorwaarde 9), dan is er sprake van een delingsring of scheeflichaam (Nederlandse term) of lichaam (Belgische term).

Merk op dat de voorwaarden 3, 4, 5 en respectievelijk 7, 8 en 9, analoge voorwaarden zijn. De voorwaarden 3, 4 en 5 gaan over de optelling, terwijl de voorwaarden 7, 8 en 9 over de vermenigvuldiging gaan.

Het verschil (aftrekken) wordt gedefinieerd door ${\displaystyle a-b=a+(-b)}$. De deling (door een element ongelijk aan nul) wordt gedefinieerd door ${\displaystyle a/b=a*(b^{-1})}$.

Men kan het ook aldus formuleren: ${\displaystyle (K,+,*)}$ is een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) indien:

• ${\displaystyle (K,+)}$ een commutatieve groep is
• ${\displaystyle (K\setminus \{0\},*)}$ een commutatieve groep is
• de bewerking ${\displaystyle *}$ distributief is ten opzichte van de bewerking ${\displaystyle +}$.

De reële getallen (${\displaystyle \mathbb {R} }$) met de gewone optelling en vermenigvuldiging vormen een commutatief lichaam; idem voor de rationale getallen (${\displaystyle \mathbb {Q} }$) en de complexe getallen (${\displaystyle \mathbb {C} }$).

De gehele getallen (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) vormen geen lichaam, omdat de meeste gehele getallen geen invers element hebben voor de vermenigvuldiging.

Als ${\displaystyle K}$ een lichaam is, vormen de rationale functies (veeltermbreuken) in ${\displaystyle n}$ veranderlijken over ${\displaystyle K}$ op hun beurt een lichaam.

De restklassen modulo ${\displaystyle p}$ vormen een commutatief (eindig) lichaam als ${\displaystyle p}$ een priemgetal is.

Een deellichaam van een lichaam is een deelverzameling die de elementen 0 en 1 bevat, en gesloten is met betrekking tot optelling, tegengestelde, vermenigvuldiging en multiplicatieve inverse. Het is hiermee zelf een lichaam.

Voorbeelden:

• De reële getallen vormen een deellichaam van de complexe getallen.
• De rationale getallen vormen een deellichaam van de reële getallen, en ook van de complexe getallen.
• ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ is een deellichaam van ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$. Dit laatste lichaam heeft de elementen ${\displaystyle 0,\,1,\,x}$ en ${\displaystyle x+1}$. Er geldt ${\displaystyle 1+1=0,\ x+x=0,\ x*x=x+1}$, zie Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)).

Een geordend lichaam is een lichaam dat totaal geordend is op een wijze waarbij aan bepaalde eigenschappen voldaan is.

• Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)
• Groep
• Groepentheorie
• Ring
• Delingsring (Ned) / Lichaam (Be)
• Algebraïsch gesloten lichaam
• Galoistheorie