Partiële differentiaalvergelijking

Een eenvoudig voorbeeld van een partiële differentiaalvergelijking is:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}u(x,y)=0}$

Hieruit volgt dat de oplossing onafhankelijk is van ${\displaystyle x}$ en dus geschreven kan worden als:

${\displaystyle u(x,y)=f(y)}$

waarin ${\displaystyle f}$ een te bepalen functie van ${\displaystyle y}$ is. Zoals bovenstaand voorbeeld laat zien, is er in tegenstelling tot de algemene oplossingen van gewone differentiaalvergelijkingen bij oplossingen voor partiële differentiaalvergelijkingen sprake van willekeurige functies, ${\displaystyle f(y)}$, in plaats van willekeurige constanten. De oplossing voor een partiële differentiaalvergelijking is in het algemeen niet uniek. Om tot een oplossing te komen moeten aanvullende voorwaarden worden gesteld aan de rand van de omgeving waarvoor de oplossing geldt; dit heet een randvoorwaarde. In dit voorbeeld wordt de functie ${\displaystyle f(y)}$, bijvoorbeeld, uniek bepaald, als ${\displaystyle u}$ wordt gespecificeerd op de lijn ${\displaystyle x=0}$.

Een voorbeeld van een partiële differentiaalvergelijking is:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {y}{x}}}$,

met als algemene oplossing:

${\displaystyle u(x,y)=F(y)+e^{-y}G(x)-\ln(x)\left(y-1\right)}$

Hierin zijn ${\displaystyle F}$ en ${\displaystyle G}$ willekeurige functies.

Tenzij anders vermeld, zijn zij lineair, van de 2e orde.

• Burgers' vergelijking (niet-lineair)
• Diffusievergelijking
• Dirac-vergelijking (1e orde)
• Euler-Lagrange-vergelijking
• Golfvergelijking
• Hamilton-Jacobi-vergelijking
• Klein-Gordonvergelijking
• Korteweg-de Vries-vergelijking (niet-lineair, 3e orde)
• Laplace-vergelijking
• Navier-Stokes vergelijking (niet-lineair)
• Maxwell-vergelijkingen (een stelsel van 4 gekoppelde 2e orde DV's; lineariteit hangt af van het medium)
• Poissonvergelijking
• Schrödingervergelijking
• Transportvergelijking (1e orde)
• Taxis-Diffusie-reactievergelijkingen
• Warmtevergelijking

Zie de categorie Partial differential equations van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.