Oneindige verzameling

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is een oneindige verzameling een verzameling die geen eindige verzameling is. Oneindige verzameling kunnen zowel aftelbaar als overaftelbaar zijn.

Enkele voorbeelden zijn:

De verzameling $\mathbb {Z}$ van alle gehele getallen {..., -1, 0, 1, 2, ...}, is een aftelbaar oneindige verzameling
De verzameling $\mathbb {R}$ van alle reële getallen is een overaftelbare verzameling.

Bij oneindige verzamelingen heeft de uitspraak dat $A$ groter is dan $B$ geen eenduidige betekenis. De verzameling $A$ kan bijvoorbeeld alle elementen van $B$ bevatten en nog meer, terwijl er wel een bijectie van $A$ naar $B$ bestaat.

Eigenschappen

De verzameling van natuurlijke getallen (waarvan het bestaan wordt gewaarborgd door het axioma van oneindigheid) is oneindig. Het is de enige verzameling waarvan de axioma's rechtstreeks vereisen dat zij oneindig is. Het bestaan van enige andere oneindige verzameling kan binnen de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer (ZFC) alleen worden bewezen door aan te tonen dat deze direct volgt uit het bestaan van de natuurlijke getallen.

Een verzameling is dan en slechts dan oneindig als voor elk natuurlijk getal de verzameling een deelverzameling heeft, waarvan de kardinaliteit gelijk is aan dit natuurlijk getal.

Als het keuzeaxioma opgaat, dan is een verzameling dan en slechts dan oneindig als deze verzameling een telbare oneindige deelverzameling bevat.

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.