Tralie (wiskunde)

Een tralie ${\displaystyle (L,\leq ,\lor ,\land )}$ is een partieel geordende verzameling ${\displaystyle (L,\leq )}$, waarin voor elk tweetal elementen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ de verzameling ${\displaystyle \{x,y\}}$ zowel een supremum (= kleinste bovengrens) ${\displaystyle x\lor y}$ als een infimum (= grootste ondergrens) ${\displaystyle x\land y}$ heeft.

Uit de definitie volgt direct dat elke eindige (niet-lege) deelverzameling ook een supremum en een infimum heeft.

Een tralie met zowel een grootste als een kleinste element, gewoonlijk aangeduid met respectievelijk 1 en 0, heet begrensd.

Door aan een partieel geordende verzameling een grootste en een kleinste element toe te voegen ontstaat een begrensde tralie.

Doordat in een tralie bij elk tweetal elementen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ de elementen ${\displaystyle x\lor y}$ en ${\displaystyle x\land y}$ bestaan, zijn ${\displaystyle \land }$ ("en") en ${\displaystyle \lor }$ ("of") binaire bewerkingen. Een tralie kan daarom ook opgevat worden als een algebraïsche structuur met deze beide bewerkingen.

Het is gemakkelijk te verifiëren dat de bewerkingen in een tralie volgens de eerste definitie voldoen aan de verlangde eisen in de tweede definitie. Omgekeerd kan een partiële ordening ${\displaystyle (\,\leq \,)}$ gedefinieerd worden in een tralie ${\displaystyle (L,\lor ,\land )}$ volgens de tweede definitie, door:

${\displaystyle x\leq y}$ als ${\displaystyle x=x\land y}$.

Dan is ook:

${\displaystyle x\leq y}$ dan en slechts dan als ${\displaystyle y=x\lor y}$,

want

${\displaystyle y=x\lor y\Rightarrow x\land y=x\land (x\lor y)=x}$, dus ${\displaystyle x\leq y}$

en

${\displaystyle x\leq y\Rightarrow x=x\land y}$, dus ${\displaystyle x\lor y=(x\land y)\lor y=y}$.

Het is niet moeilijk in te zien dat de zo bepaalde relatie inderdaad een partiële ordening op ${\displaystyle L}$ is. Verder is nu bij elk tweetal elementen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ van ${\displaystyle L}$ het element ${\displaystyle x\lor y}$ het verlangde supremum en ${\displaystyle x\land y}$ het verlangde infimum, immers vanwege de absorptie-eigenschappen is:

${\displaystyle x=x\land (x\lor y)}$, dus ${\displaystyle x\leq x\lor y}$

${\displaystyle y=y\land (y\lor x)}$, dus ${\displaystyle y\leq y\lor x=x\lor y}$.

en

${\displaystyle x=(x\land y)\lor x}$, dus ${\displaystyle x\land y\leq x}$

${\displaystyle y=(x\land y)\lor y}$, dus ${\displaystyle x\land y\leq y}$.

Dus ${\displaystyle x\lor y}$ is een majorant van ${\displaystyle \{x,y\}}$ en ${\displaystyle x\land y}$ een minorant. Het zijn ook respectievelijk de kleinste en de grootste, want stel:

${\displaystyle x\leq z\leq x\lor y}$

en

${\displaystyle y\leq z\leq x\lor y}$,

dan:

${\displaystyle z=z\lor y=(z\lor x)\lor y=z\lor (x\lor y)=(z\land (x\lor y))\lor (x\lor y)=x\lor y}$.

En analoog, stel:

${\displaystyle x\land y\leq z\leq x}$

en

${\displaystyle x\land y\leq z\leq y}$,

dan:

${\displaystyle z=z\land y=(z\land x)\land y=z\land (x\land y)=(z\lor (x\land y))\land (x\land y)=x\land y}$.

We zien dus dat een tralie in de eerste zin ook een tralie in de tweede zin is en omgekeerd. Bovendien hebben we gezien dat als de bewerkingen in de algebraïsche tralie overeenkomen met die in de ordeningstralie, de door de bewerkingen geïnduceerde partiële ordening dezelfde is als de oorspronkelijke. Daarmee zijn de twee begrippen tralie geheel uitwisselbaar en kan al naargelang de toepassing de daartoe meest geschikte vorm gekozen worden.

Op het einde van de negentiende eeuw introduceerden Charles Sanders Peirce en Ernst Schröder het traliebegrip bij hun onderzoek naar de axiomatisering van Booleaanse algebras. Richard Dedekind kwam onafhankelijk van hen tot de ontdekking van hetzelfde begrip via zijn onderzoek naar idealen van algebraïsche getallen. Hun ideeën, evenmin als the vroege resultaten van Edward Huntington, trokken weinig aandacht. De algemene ontwikkeling van de tralietheorie begon met het werk van Garrett Birkhoff in het midden van de jaren 1930.[1]

In de formeleconceptanalyse maakt men gebruikt van tralies voor het analyseren van gegevens die voorliggen als een binaire relatie: "object ${\displaystyle x}$ heeft eigenschap ${\displaystyle y}$".

Een tralie ${\displaystyle V}$ heet volledig, als iedere deelverzameling (ook de lege en eventueel oneindige) een supremum en een infimum heeft.

Het is voldoende voor elke deelverzameling ${\displaystyle M}$ het bestaan van het supremum te eisen, want

${\displaystyle \inf(M)=\sup\{x\in V:(\forall \,y\in M:x\leq y)\}}$.

Iedere volledige tralie is begrend, en iedere eindige niet-lege tralie is volledig en dus ook begrensd.