Abelse groep

Een abelse groep, ook wel commutatieve groep genoemd, is een groep die aan de additionele eis voldoet dat het product van twee elementen niet van de volgorde afhangt waarin de groepsoperatie wordt uitgevoerd (het axioma van commutativiteit). Abelse groepen zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel.

Het concept van een abelse groep is een van de eerste concepten die men tegenkomt in de abstracte algebra. Modules en vectorruimtes kunnen als verfijningen van abelse groepen worden gezien. De theorie van de abelse groepen is in het algemeen eenvoudiger dan die van de niet-abelse groepen. Eindige abelse groepen worden goed begrepen. De theorie van de oneindige abelse groepen is echter een gebied waarnaar ook nu nog veel onderzoek wordt verricht.

Definitie

Een groep $(G,*)$ heet abels of commutatief als voor alle elementen $a,b\in G$ geldt:

a*b=b*a

.

Voorbeelden

Abelse groepen

In elementaire wiskunde zijn veel voorbeelden van abelse groepen te vinden, zoals:

De additieve groep van de gehele getallen $(\mathbb {Z} ,+)$ , evenals de additieve groepen $(\mathbb {Q} ,+)$ , $(\mathbb {R} ,+)$ en $(\mathbb {C} ,+)$ .
De multiplicatieve groep $(\mathbb {Q} _{0},*)$ van de rationale getallen zonder nul, is abels. Hetzelfde geldt voor de groepen $(\mathbb {R} _{0},*)$ , $(\mathbb {C} _{0},*)$ .
De eindige groepen $(\mathbb {Z} _{n},+)$ , de cyclische groepen van orde n, zijn abels.

Niet-abelse groepen

De volgende groepen zijn niet abels:

De permutatiegroep op drie elementen is een groep die uit zes elementen bestaat. Deze groep is niet abels, evenals de permutatiegroepen op meer dan drie elementen.

De verzameling van alle echte, dat wil zeggen $n>1$ , inverteerbare $n\times n$ -matrices, voorzien van de matrixvermenigvuldiging, is een groep met als neutraal element de eenheidsmatrix. Deze groep is niet abels, de enige elementen die met alle andere elementen commuteren zijn de herschalingen van de eenheidsmatrix.

De groep van de euclidische transformaties van het vlak, is niet abels; in het algemeen commuteren bijvoorbeeld de translaties (verschuivingen) niet met de rotaties (draaiingen). Merk hierbij op dat de groep van de rotaties en de groep van de translaties wel abels zijn.

Bijzondere eigenschappen van abelse groepen

Deelgroepen van een abelse groep zijn ook abels.
Deelgroepen van een abelse groep zijn altijd een normaaldeler van die groep.
Alle factorgroepen van een abelse groep zijn ook abels. In het bijzonder is het homomorfe beeld van een abelse groep ook abels.
De directe som van abelse groepen is ook abels.
Stelling: Alle eindige abelse groepen zijn een cyclische groep of de directe som van een aantal cyclische groepen.

De eindig voortgebrachte abelse groepen

Een algemenere klasse van abelse groepen is die van de eindig voortgebrachte abelse groepen, kort af e.v. abelse groepen, de abelse groepen die door eindig veel elementen, de generatoren, worden voortgebracht.

De cyclische groepen zijn de e.v. groepen die door een enkel element kunnen worden voortgebracht.
De Viergroep van Klein is een e.v. groep die kan worden voortgebracht door twee elementen, maar niet door minder.
De groepen $(\mathbb {Q} ,+)$ , $(\mathbb {R} ,+)$ en $(\mathbb {C} ,+)$ zijn echter niet eindig voortgebracht.

Net zoals in het geval van de cyclische groepen zijn er dus aftelbaar veel e.v. abelse groepen, zijn ze alle gekend en hebben ze een relatief eenvoudige structuur.

Translatie

Een translatie $T_{g}$ van een element $h$ van een abelse groep wordt gegeven door $T_{g}(h)=g+h$ .

Een translatie $T_{g}$ van een deelverzameling van een abelse groep wordt gegeven door de betreffende beeldverzameling.

Zie ook

Groepen en groepentheorie voor een algemenere theorie.
De mate waarin een gegeven groep niet abels is, wordt door de commutatordeelgroep weergegeven.
Nilpotente en oplosbare groepen, natuurlijke veralgemeningen van groepen met een commutatieve groepsbewerking. In de theorie van de Lie-algebra's spelen de abelse, nilpotente en oplosbare Lie algebra's een analoge rol.
De hoofdstelling van eindig voortgebrachte modulen over hoofdideaaldomeinen.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.