Algoritme

Algoritmen in formele systemen zijn essentieel voor bijvoorbeeld de manier waarop computers informatie verwerken, omdat een computerprogramma een formeel algoritme is dat de computer vertelt welke specifieke stappen in een specifieke volgorde uitgevoerd moeten worden om een bepaald eindresultaat te bereiken.

In het algemeen wordt bij algoritmen informatie verwerkt; de informatie (data) wordt gelezen van een invoerapparaat en weggeschreven naar een uitvoerapparaat; de informatie kan ook bewaard worden voor later. Opgeslagen data worden bij het analyseren van algoritmen gezien als de "interne toestand" van het apparaat dat het algoritme uitvoert.

Voor elk rekenkundig proces moet een algoritme nauwkeurig gedefinieerd worden: het specificeert namelijk hoe het apparaat zal reageren op elke mogelijke invoer en interne toestand. Omdat een algoritme een exacte lijst is met exacte stappen, is de volgorde waarin de berekening gebeurt kritisch voor het correct functioneren van het algoritme. Uniek aan het concept van formele algoritmen is de toewijzing van een waarde aan een variabele. Dit komt voort uit de notie van geheugen als kladblok.

Waar een algoritme de beschrijving is van een oplossing van een probleem, is een computerprogramma (in een of andere programmeertaal) de implementatie van dat algoritme. Een algoritme voor een berekening met reële getallen kan bijvoorbeeld uitgaan van exacte berekeningen, terwijl de implementatie bepaalt hoe groot de afrondfouten kunnen zijn. De nauwkeurigheid van het eindresultaat kan (bij gelijkwaardige wijze van afronden van tussenresultaten) wel van het algoritme afhangen, dus bij het ontwerp van het algoritme moet er vaak al rekening mee worden gehouden dat er in de implementatie niet exact gerekend wordt. Dit geldt overigens niet alleen bij computergebruik, maar ook bij een handberekening met tussentijdse afrondingen.

De verschillende manieren om tegen een probleem aan te kijken en het te beschrijven hebben in de loop van de jaren ook verschillende vormen van programmeren opgeleverd: imperatief programmeren, objectgeoriënteerd programmeren, aspectgeoriënteerd programmeren, logisch programmeren, symbolisch programmeren, functioneel programmeren.

In imperatief programmeren worden instructies expliciet opgeschreven, waarbij de berekening bovenaan begint en vervolgens stap voor stap naar beneden verloopt. Dit heet de control flow van een algoritme.

Een andere manier om tegen algoritmen aan te kijken is functioneel programmeren. In programma's van dit type worden algoritmen gezien als wiskundige functies die elkaar kunnen aanroepen. Diezelfde functies kunnen ook aan variabelen worden toegewezen en zelfs als parameter in een functieaanroep gebruikt worden.

Een voorbeeld van een algoritme is het algoritme van Euclides, dat de grootste gemene deler van twee strikt positieve getallen in de variabelen a en b geeft. De informele beschrijving van dit algoritme is als volgt:

• Zolang a en b niet gelijk zijn:
  • Trek van het grootste van de twee het andere af.
• Zodra ze gelijk zijn, is de grootste gemene deler a (of b).

In pseudocode:

function ggd(a,b)
  if a = b
    return a
  else if a < b
    return ggd(a, b-a)
  else
    return ggd(a-b, b)
end

Dit algoritme is recursief.

Blad uit een Latijnse vertaling (Cambridge manuscript), beginnend met "Dixit algorizmi"

Het woord algoritme is een verbastering van het Oudengelse woord algorism, dat van het Latijnse woord algorismus komt, dat weer voortkomt uit de naam van de Perzische wiskundige Al-Chwarizmi (ca. 780 - ca. 845). Hij was de auteur van het boek al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr w'al-muqabala (Boek van de beknopte rekenkundige algebra en handelsbalans) dat de algebra in de Westerse wereld introduceerde. Het woord algebra zelf komt van al-Jabr uit de titel van het boek. Het woord algorisme verwees oorspronkelijk alleen naar de regels voor het rekenen met Arabische cijfers, maar was in de 18e eeuw naar algoritme geëvolueerd. Het woord algoritme wordt nu gebruikt voor alle eindige procedures om problemen op te lossen of taken uit te voeren.

Het eerste voor een computer geschreven algoritme is te vinden in de notities van Ada Byron over de analytische machine, geschreven in 1842. Daarom wordt zij wel als 's werelds eerste computerprogrammeur beschouwd.

Het ontbreken van wiskundige strengheid in de definitie van een "goed gedefinieerde procedure" voor een algoritme vormde een probleem voor de wiskundigen en logici van de 19e en begin 20e eeuw. Dit probleem werd grotendeels opgelost met de beschrijving van de turingmachine, een abstract model van een computer, door Alan Turing, en de demonstratie dat elke tot dan toe gevonden methode om "goed gedefinieerde procedures" te beschrijven op een turingmachine uitgevoerd kon worden (een uitspraak die wel bekend is als de stelling van Church-Turing).

Heden ten dage is het formele criterium voor een algoritme dat het een procedure is die geïmplementeerd kan worden op een volledig gespecificeerde turingmachine of een van de equivalente formalisaties. Turings eerste interesse lag bij de berekenbaarheidstheorie: welke functies en problemen kunnen met een algoritme opgelost worden. In de praktijk is ook de complexiteitstheorie van belang, waarbij het niet gaat om de vraag welke functies berekenbaar zijn, maar om de vraag hoe efficiënt dit mogelijk is.

• Sorteren
  • Insertion sort
  • Bubblesort
  • Mergesort
  • Quicksort
  • Radix sort
  • Straight selection sort
• Optimalisatie
  • Genetische algoritmen
  • Simulated annealing
  • Tabu search
• Evolutionaire algoritmen
• Compressie en decompressie
• Encryptie en decryptie
• Coderen en decoderen (zie ook: codec)

• Computer
• Grafentheorie
• Turingmachine, algoritmen voor turingmachines
• Complexiteitstheorie
• Algoritme van Lamport
• Online-algoritme

Zie de categorie Algorithms van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.