Coördinatenruimte

Voor een willekeurig lichaam (Ned) / veld (Be) ${\displaystyle F}$ (zoals de reële getallen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ of de complexe getallen ${\displaystyle \mathbb {C} }$) en natuurlijk getal ${\displaystyle n}$ wordt de ruimte ${\displaystyle F^{n}}$ van alle ${\displaystyle n}$-tupels van elementen van ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle n}$-dimensionale coördinatenruimte genoemd.

De coördinatenruimte is een ${\displaystyle n}$-dimensionale vectorruimte over ${\displaystyle F}$.

Een element ${\displaystyle x}$ van ${\displaystyle F}$ is een rijtje

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

waarin elke ${\displaystyle x_{i}}$ een element is van ${\displaystyle F}$. De ${\displaystyle n}$ elementen ${\displaystyle x_{i}}$ heten de kentallen van de vector ${\displaystyle x}$. De ${\displaystyle n}$ vectoren ${\displaystyle x_{i}e_{i}=(0,\ldots ,0,x_{i},0,\ldots ,0)}$, waarin ${\displaystyle e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$ de ${\displaystyle i}$-de eenheidsvector uit de standaardbasis is, heten de componenten van ${\displaystyle x}$. Een vector is de som van z'n componenten:

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$

Optelling en scalaire vermenigvuldiging op ${\displaystyle F^{n}}$ zijn gedefinieerd door

${\displaystyle x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})}$

en

${\displaystyle \alpha x=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n})}$

De nulvector is

${\displaystyle 0=(0,0,\cdots ,0)}$

en de additieve inverse van de vector ${\displaystyle x}$ wordt gegeven door

${\displaystyle -x=(-x_{1},-x_{2},\cdots ,-x_{n}).}$

De coördinatenruimte ${\displaystyle F^{n}}$ heeft als standaardbasis het stelsel eenheidsvectoren:

${\displaystyle e_{1}=(1,0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle e_{2}=(0,1,\ldots ,0)}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle e_{n}=(0,0,\ldots ,1)}$

waarin 1 de multiplicatieve identiteit in ${\displaystyle F}$ aanduidt.

Alle ${\displaystyle n}$-dimensionale vectorruimten over hetzelfde lichaam zijn met elkaar isomorf.

• Reële coördinatenruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Complexe coördinatenruimte ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Coördinatisering