Ideaal (ringtheorie)

Een deelverzameling ${\displaystyle I}$ van een ring ${\displaystyle (R,+,\,\cdot \,)}$ heet een (tweezijdig) ideaal, als ${\displaystyle (I,+)}$ een deelgroep vormt voor de optelling, die stabiel blijft onder linkse en rechtse vermenigvuldiging met een willekeurig element uit de ring.

• ${\displaystyle (I,+)}$ is een deelgroep van ${\displaystyle (R,+)}$
• voor alle ${\displaystyle i\in I}$ en ${\displaystyle r\in R}$ zijn ${\displaystyle r\cdot i\in I}$ en ${\displaystyle i\cdot r\in I}$

Bij een commutatieve ring speelt het onderscheid tussen linkse en rechtse vermenigvuldiging uiteraard geen rol. In andere gevallen wordt nog onderscheid gemaakt in linksidealen en rechtsidealen, dat wil zeggen ondergroepen die stabiel zijn onder linkse resp. rechtse vermenigvuldiging met een willekeurig element uit de ring. Men kan de eis dat een ideaal ${\displaystyle I}$ een ondergroep is van de ring ${\displaystyle R}$ vervangen door

• voor alle ${\displaystyle i,j\in I}$ is ${\displaystyle i-j\in I}$

De verantwoording van het begrip ideaal ligt in de constructie van de factorring of quotiëntring. Naar analogie met het begrip quotiëntgroep of factorgroep uit de groepentheorie zou men, voor een gegeven ring ${\displaystyle R}$ en een deelring ${\displaystyle D}$ de quotiëntring willen definiëren. Daartoe beschouwt men eerst en vooral de quotiëntverzameling van ${\displaystyle R}$ bestaande uit de equivalentieklassen van de equivalentierelatie

${\displaystyle a\sim b}$ als ${\displaystyle a-b\in D}$

De elementen van deze quotiëntverzameling zijn de nevenklassen van ${\displaystyle D}$ in ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle \{a+D\mid a\in R\}}$

De bewerking optellen, ${\displaystyle +}$, gaat zonder problemen over op nevenklassen, omdat de som van ringelementen uit ${\displaystyle a+D}$ en ${\displaystyle b+D}$ automatisch tot ${\displaystyle (a+b)+D}$ behoort. De nevenklassen vormen de factorgroep ${\displaystyle (R/D,+)}$

De bewerking vermenivuldegen, ${\displaystyle \cdot }$, gaat echter niet altijd canoniek over op nevenklassen, omdat het product van ring-elementen uit ${\displaystyle a+D}$ en ${\displaystyle b+D}$ niet noodzakelijk tot ${\displaystyle (a\cdot b)+D}$ behoort. Dit is echter wel gegarandeerd als ${\displaystyle D}$ niet zomaar een deelring van ${\displaystyle R}$ is, maar ook een ideaal van '${\displaystyle R}$. De nevehklassen ${\displaystyle R/D}$ vormen dan een deelring ${\displaystyle (R/D,+,\cdot \,)}$, die factorring genoemd wordt.

Hoofdidealen zijn idealen die worden voortgebracht door één element. Formeel: als ${\displaystyle R}$ een commutatieve ring is, dan is een hoofdideaal van ${\displaystyle R}$ een ideaal van de vorm:

${\displaystyle aR=\{a\cdot x|x\in R\}}$

De verzameling ${\displaystyle aR}$ heet dan het hoofdideaal voortgebracht door het element ${\displaystyle a}$. Soms wordt dit genoteerd als ${\displaystyle (a)}$ in plaats van ${\displaystyle aR}$.

De doorsnede van twee idealen van een ring, of zelfs van een willekeurige familie idealen, is opnieuw een ideaal.

Het ideaal voortgebracht door een deelverzameling ${\displaystyle S}$ van een ring ${\displaystyle R}$ is de doorsnede van alle idealen van ${\displaystyle R}$ die ${\displaystyle S}$ omvatten. Dit ideaal wordt meestal genoteerd als ${\displaystyle (S)}$ en is het kleinste ideaal in ${\displaystyle R}$ dat ${\displaystyle S}$ omvat. Als ${\displaystyle S}$ een eindige of aftelbare verzameling is, noteert men het ideaal ook wel door opsomming van de elementen: ${\displaystyle (x)}$ of ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots )}$. Men kan ${\displaystyle S}$ ook uitdrukkelijk beschrijven als de verzameling van alle eindige sommen van producten van elementen van ${\displaystyle S}$ met willekeurige elementen van ${\displaystyle R}$ (bij niet-commutatieve ringen moeten we zowel linker- als rechterproducten meenemen).

De som van twee idealen ${\displaystyle I}$ en ${\displaystyle J}$, genoteerd ${\displaystyle I+J}$, bestaat uit alle ringelementen van de vorm ${\displaystyle i+j}$ waarvan ${\displaystyle i\in I}$ en ${\displaystyle j\in J.}$ Deze som is ook een ideaal.

Zelfs in een commutatieve ring vormen de producten van elementen uit ${\displaystyle I}$ en ${\displaystyle J}$ niet noodzakelijk een ideaal, maar het ideaal dat ze voortbrengen heet het productideaal en wordt gewoonlijk als ${\displaystyle IJ}$ genoteerd.

Het nulradicaal of nilradicaal van een commutatieve ring ${\displaystyle R}$ is de verzameling der nilpotente elementen van ${\displaystyle R.}$ Het is een ideaal van ${\displaystyle R.}$

Het radicaal van een ideaal ${\displaystyle I}$ in een ring ${\displaystyle R}$ bestaat uit alle elementen van ${\displaystyle R}$ waarvan een macht in ${\displaystyle I}$ ligt. Een radicaal ideaal is een ideaal dat gelijk is aan zijn eigen radicaal.

Een ideaal ${\displaystyle I}$ heet priemideaal als het niet de ring zelf is, en als voor elke twee elementen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ in de ring, het product ${\displaystyle x\cdot y}$ alleen dan in ${\displaystyle I}$ ligt als ${\displaystyle x}$ of ${\displaystyle y}$ zelf in ${\displaystyle I}$ ligt.

Een priemideaal is altijd radicaal.

Een ideaal ${\displaystyle I}$ heet maximaal als het niet de ring zelf is, en als de ring zelf het enige ideaal is, waarvan ${\displaystyle I}$ een echte deelverzameling is ("er zijn geen grotere").

Een maximaal ideaal is altijd een priemideaal.