Isomorfisme

Isomorfismen worden in de wiskunde bestudeerd om verkregen inzichten met betrekking tot het ene fenomeen over te hevelen naar andere fenomenen. Als twee wiskundige objecten isomorf zijn, dan is elke eigenschap, waarvan de structuur bewaard blijft door een isomorfisme en die geldt voor een van de twee wiskundige objecten, ook geldt voor het andere wiskundige object. Als er een isomorfisme kan worden gevonden van een relatief onbekend deel van de wiskunde naar een goed bestudeerd deelgebied, waar reeds vele stellingen bewezen zijn en vele methoden beschikbaar zijn om antwoorden te vinden, dan kan deze isomorfe functie worden gebruikt om problemen uit het onbekende deelgebied af te beelden op het deelgebied van de wiskunde waar men reeds "vaste grond onder de voeten heeft" en waar de problemen dus gemakkelijker kunnen worden begrepen en opgelost.

Isomorfismen kunnen het gemakkelijkst worden gedefinieerd door te kijken naar concrete situaties:

• In de lineaire algebra spreekt men wel van vectorruimte-isomorfismen. Veronderstel dat ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle W}$ twee vectorruimten zijn. Een vectorruimte-isomorfisme van ${\displaystyle V}$ naar ${\displaystyle W}$ is dan een morfisme van vectorruimten ${\displaystyle f:V\to W}$, zo dat er een invers morfisme van vectorruimten ${\displaystyle g:W\to V}$ bestaat waarvoor voldaan is aan de relaties ${\displaystyle f\circ g=id_{W}}$ en ${\displaystyle g\circ f=id_{V}}$. In het bijzonder zijn de vectorruimte-isomorfismen bijectieve vectorruimte-morfismen. Indien het duidelijk is dat er met vectorruimten wordt gewerkt, spreekt men ook gewoonweg van morfismen en isomorfismen.

• In de groepentheorie spreekt men van groepsisomorfismen of isomorfismen van groepen. Een isomorfisme van de groep ${\displaystyle G}$ naar de groep ${\displaystyle H}$ is een morfisme van groepen ${\displaystyle f:G\to H}$ zodat er een morfisme van groepen ${\displaystyle g:H\mapsto G}$ bestaat met ${\displaystyle f\circ g=id_{H}}$ en ${\displaystyle g\circ f=id_{G}}$.

• Twee geordende verzamelingen zijn orde-isomorf als er een bijectie is met corresponderende ordening.

• Geheel analoog kan men spreken van isomorfismen van Lie-algebra's, Lie-groepen, euclidische ruimten, algebra's, velden(B)/lichamen(NL), ringen, modulen, enz.

Veronderstel dat ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ twee objecten zijn met een gelijksoortige structuur, d.w.z. het zijn beide Lie-algebra's (of velden, of vectorruimten, of anders). Een isomorfisme van ${\displaystyle A}$ naar ${\displaystyle B}$ is dan een morfisme ${\displaystyle A\to B}$ zodanig dat er een invers morfisme ${\displaystyle B\to A}$ bestaat. Merk op dat het woord morfisme hier gedefinieerd is in termen van de structuur die werd uitgekozen.

Twee objecten zijn isomorf indien er een isomorfisme tussen deze objecten bestaat.

• Beschouw de euclidische ruimte. Een rotatie (draaiing) rond de oorsprong bewaart de afstand tussen punten. Dit betekent dat het een morfisme van de ruimte is. De omgekeerde rotatie zal ook de punten bewaren en dus ook een morfisme zijn. Het is duidelijk dat deze twee morfismen elkaars inverse zijn. In het bijzonder hebben we te maken met een isomorfisme. Men spreekt in dit geval echter eerder van isometrie dan van isomorfisme van het euclidische vlak.
• Beschouw een tweedimensionale (reële of complexe) vectorruimte ${\displaystyle V}$. Definieer de afbeelding van ${\displaystyle V}$ naar zichzelf die alle vectoren met een vaste factor twee vermenigvuldigt. Dan is deze afbeelding een morfisme van de vectorruimte ${\displaystyle V}$ naar zichzelf. Het inverse morfisme is hier het morfisme dat alle vectoren door twee deelt. In het bijzonder hebben we te maken met een isomorfismen van vectorruimten.
• Beschouw de volgende groepen: de groep van de positieve reële getallen voorzien van de vermenigvuldiging enerzijds, en de groep van alle reële getallen voorzien van de optelling anderzijds. Dan is de logaritmische functie van de eerste groep naar de tweede groep, een isomorfisme van groepen. Het inverse morfisme is in dit geval de welbekende exponentiële functie. Bovendien zijn de twee morfismen ook continu (voor de evidente topologieën). In het bijzonder hebben we dus isomorfismen van topologische groepen.
• In de lineaire algebra is er het volgende resultaat. Twee eindigdimensionale vectorruimten zijn isomorf dan en slechts dan als hun dimensies gelijk zijn. Deze uitspraak hoeft zeker niet op te gaan voor andere objecten zoals Lie-algebra's.
• In sommige theorieën is een isomorfisme niets anders dan een bijectief morfisme. Dit is bijvoorbeeld zo bij groepen en vectorruimten.

• morfisme
• automorfisme
• endomorfisme
• Categorie (wiskunde)