Afstand

In de gewone euclidische meetkunde is de kortste verbindingsweg, of euclidische afstand, een rechte lijn en kan de afstand worden berekend als de wortel uit de som van de kwadraten van de verschillen tussen de coördinaten, volgens de stelling van Pythagoras.

In een tweedimensionale ruimte betekent dat voor de afstand ${\displaystyle d}$ tussen de punten ${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1})}$ en ${\displaystyle p_{2}=(x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}$

In drie dimensies geldt hetzelfde

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}}$

Zijn de punten ${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ en ${\displaystyle p_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$ in de tweedimensionale ruimte gegeven in genormaliseerde barycentrische coördinaten, dan is, gebruikmakend van Conway-driehoeknotatie de afstand gegeven door

${\displaystyle d={\sqrt {S_{A}\cdot (x_{1}-x_{2})^{2}+S_{B}\cdot (y_{1}-y_{2})^{2}+S_{C}\cdot (z_{1}-z_{2})^{2}}}}$

De afstand tussen een punt ${\displaystyle P=(x_{p},y_{p})}$ en een lijn ${\displaystyle l}$ door de punten ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ en ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, is:

${\displaystyle d(P,l)={\sqrt {(x_{p}-x_{0}-\lambda _{q}(x_{1}-x_{0}))^{2}+(y_{p}-y_{0}-\lambda _{q}(y_{1}-y_{0}))^{2}}}}$

met

${\displaystyle \lambda _{q}={\frac {(x_{1}-x_{0})(x_{p}-x_{0})+(y_{1}-y_{0})(y_{p}-y_{0})}{(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}}}$

Ligt het getal ${\displaystyle \lambda _{q}}$ tussen 0 en 1 dan bevindt het snijpunt van l en de lijn door ${\displaystyle P}$ loodrecht op ${\displaystyle l}$ zich tussen de punten ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ en ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$.

De afstand van een punt ${\displaystyle P=(x_{p},y_{p})}$ tot de lijn ${\displaystyle l}$ met vergelijking ${\displaystyle ux+vy+w=0}$ is:

${\displaystyle d(P,l)={\frac {|ux_{p}+vy_{p}+w|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}$

Het getal in de noemer is de lengte van de normaalvector ${\displaystyle (u,v)}$ van ${\displaystyle l}$.

De afstand van een punt ${\displaystyle P=(x_{p},y_{p},z_{p})}$ tot het vlak ${\displaystyle \alpha }$ met vergelijking ${\displaystyle ux+vy+wz+t=0}$ is:

${\displaystyle d(P,\alpha )={\frac {|ux_{p}+vy_{p}+wz_{p}+t|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}}$

Het getal in de noemer is de lengte van de normaalvector ${\displaystyle (u,v,w)}$ van ${\displaystyle \alpha }$.

afstand tussen twee lijnen

De afstand tussen de twee lijnen is de afstand van een willekeurig punt van de eerste lijn tot het vlak door de tweede lijn evenwijdig aan de eerste.

De afstand tussen twee punten ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle Q}$ op het oppervlak van een bol, gemeten langs een grote cirkel, dus over het oppervlak van de bol, niet erdoorheen, is:

${\displaystyle d(P,Q)=2R\cdot \arcsin {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(\cos \beta _{Q}\cos \alpha _{Q}-\cos \beta _{P}\cos \alpha _{P})^{2}+(\cos \beta _{Q}\sin \alpha _{Q}-\cos \beta _{P}\sin \alpha _{P})^{2}+(\sin \beta _{Q}-\sin \beta _{P})^{2}}}}$

hierin is ${\displaystyle R}$ de straal van de bol, ${\displaystyle \alpha }$ de hoek in het equatoriale vlak en ${\displaystyle \beta }$ de hoek loodrecht daarop, gerekend vanaf de equator.