Polynoom

Voorbeelden van oneindige verzamelingen waaruit men de coëfficiënten kan kiezen zijn de natuurlijke getallen, gehele getallen, de rationale getallen, de reële getallen en complexe getallen. We spreken dan van polynomen over ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ of ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Wanneer de coëfficiënten van een polynoom ${\displaystyle f}$ uit een van deze verzamelingen worden gekozen en de variabele ${\displaystyle x}$ uit ${\displaystyle \mathbb {C} }$, heet ${\displaystyle f}$ een holomorfe functie.

Het is ook mogelijk de coëfficiënten en de variabele uit een eindig lichaam of veld te kiezen, genoteerd met ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ of GF(q). q, het aantal elementen in het eindig lichaam, is een priemgetal of de macht van een priemgetal.

Voor het domein van polynomen wordt in het algemeen de verzameling van de reële getallen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ of de complexe getallen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ genomen. Voor berekeningen in de algebra is het meestal niet nodig aan te geven, over welk domein een polynoom is gedefinieerd. De verzamelingen polynomen die bij de verschillende soorten coëfficiënten horen, vormen steeds een ring. Een ring van polynomen heet een veeltermring.

De coëfficiënten van een polynoom ${\displaystyle f}$ zijn de symmetrische functies van ${\displaystyle f}$, uitgedrukt in de nulpunten van ${\displaystyle f}$.

De verzameling van alle polynomen wordt genoteerd met ${\displaystyle \mathbb {P} }$. De verzameling van alle polynomen van graad ${\displaystyle m\leq n}$, samen met de nulpolynoom, wordt genoteerd met ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}}$. Beide verzamelingen vormen een reële vectorruimte. De coëfficiënten kunnen als coördinaten optreden. De basisvectoren zijn dan de machten van ${\displaystyle x}$. De ruimte ${\displaystyle \mathbb {P} _{n-1}}$ is ${\displaystyle n}$-dimensionaal.

De constante functie ongelijk aan 0 is een polynoom van de graad 0. Polynomen van de graad 1 heten lineair, en van de graad 2 kwadratisch. De lineaire polynomen, dat zijn de eerstegraadspolynomen, vormen functies met als grafiek een rechte lijn, de tweedegraadspolynomen vormen functies met parabolen als grafiek.

Wordt de polynoom ${\displaystyle p}$ gelijkgesteld aan 0, dan ontstaat de vergelijking ${\displaystyle p(x)=0}$. De graad van de vergelijking is de graad van de polynoom. Een tweedegraadsvergelijking heet ook vierkantsvergelijking. Derdegraadsvergelijkingen, vierdegraadsvergelijkingen, vijfdegraadsvergelijkingen en zesdegraadsvergelijkingen hebben voldoende speciale eigenschappen om ze afzonderlijk te bestuderen.

Een polynoom is dus een uitdrukking waarin slechts twee basisbewerkingen van de rekenkunde een eindig aantal keren voorkomen, bamelijk de optelling en de vermenigvuldiging, of een uitdrukking die op die manier kan worden herschreven. Men onderscheidt reële polynomen, waarin alleen reële getallen als coëfficiënt voorkomen, en complexe polynomen met complexe coëfficiënten.

Na de 'ontdekking' van de complexe getallen is de hoofdstelling van de algebra geformuleerd, die zegt dat elke veelterm van de graad ${\displaystyle n}$ over het lichaam/veld van de complexe getallen kan worden ontbonden in ${\displaystyle n}$ lineaire factoren:

${\displaystyle a_{n}(x-b_{1})(x-b_{2})\ldots (x-b_{n})}$

De getallen ${\displaystyle b_{k}(k=0,\ldots ,n)}$ zijn de nulpunten van de polynoom, of de wortels van de bijbehorende algebraïsche vergelijking. Het aantal keren dat de betrokken factor in de ontbinding voorkomt, heet de multipliciteit van het nulpunt, en het aantal nulpunten van een veelterm is, als elk nulpunt even vaak wordt meegeteld als zijn multipliciteit, dus gelijk aan de graad.

Voor reële polynomen geldt, net als voor complexe polynomen, dat zij ${\displaystyle n}$ complexe nulpunten hebben. Iedere reële polynoom van oneven graad heeft ten minste één reëel nulpunt en de niet-reële, de complexe nulpunten komen steeds in complex toegevoegde paren voor. Er is geen algoritme waarmee voor willekeurige polynomen van een graad groter dan 4 de nulpunten met wortels uit getallen kunnen worden geschreven.

Een breuk van twee polynomen heet een rationale functie.

Het criterium van Eisenstein geeft er een voldoende voorwaarde voor, dat een polynoom met gehele coëfficienten irreducibel is. Een polynoom die aan het criterium voldoet, is irreducibel over de rationale getallen, en daarmee ook over de gehele getallen.

Volgens de hoofdstelling van de algebra is een polynoom vastgelegd door zijn nulpunten, dat mogen complexe nulpunten zijn, en een constante:

${\displaystyle p(x)=c(x-b_{1})(x-b_{2})\ldots (x-b_{n})}$,

waarin de getallen ${\displaystyle b_{k}}$ de nulpunten zijn van de polynoom.

Omgekeerd zijn die nulpunten de oplossingen van de vergelijking die ontstaat door de polynoom gelijk aan nul te stellen. Zo ontstaat een algebraïsche vergelijking met één onbekende ${\displaystyle x}$ van de volgende vorm:

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}=0}$

Hierin is elke ${\displaystyle a_{k}}$ een constante die de ${\displaystyle k}$-de graads coëfficiënt wordt genoemd. De graad van de polynoom, dit is de grootste waarde van ${\displaystyle k}$ waarvoor geldt dat ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$, wordt ook de graad van de vergelijking genoemd.

Een speciaal geval vormen de polynomen met gehele coëfficiënten. Een nulpunt van zo'n polynoom wordt een algebraïsch getal genoemd. Een getal dat niet algebraïsch is, maar wel reëel, heet een transcendent getal.

Differentiëren van een polynoom verlaagt de graad van de polynoom met 1. Bijvoorbeeld differentiëren van ${\displaystyle 4x^{3}+5x^{2}+3x+2}$ van de graad 3 geeft de afgeleide polynoom ${\displaystyle 12x^{2}+10x+3}$ van de graad 2.

Volgens de stelling van Marden zijn de nulpunten van de afgeleide van een derdegraads polynoom in ${\displaystyle \mathbb {C} }$, waarvan de nulpunten niet op één lijn liggen, gelijk aan de brandpunten van Steiners ingeschreven ellips van de driehoek die door die nulpunten wordt gevormd. De coëfficiënten van de polynoom mogen hierin complex worden genomen.

In het algemeen kan een polynoom ${\displaystyle p(x)}$ gedeeld worden door een polynoom ${\displaystyle d(x)}$ waarvan de graad lager is dan die van ${\displaystyle p(x)}$. De rest bij deling is een polynoom ${\displaystyle r(x)}$, of 0 wanneer ${\displaystyle p(x)}$ precies door ${\displaystyle d(x)}$ is te delen. Algemeen geldt:

${\displaystyle p(x)=q(x)d(x)+r(x)}$,

waarin de polynoom ${\displaystyle q(x)}$ de quotiëntpolynoom is.

De daadwerkelijke deling van een polynoom door een andere polynoom van lagere, of eventueel gelijke graad, kan door staartdelen.

Als ${\displaystyle n}$ de graad van ${\displaystyle p}$ is en ${\displaystyle m}$ de graad van ${\displaystyle d}$, geldt dat de graad van ${\displaystyle q}$ gelijk is aan ${\displaystyle n-m}$ en de graad van ${\displaystyle r}$ ten hoogste gelijk is aan ${\displaystyle m-1}$. In het geval dat ${\displaystyle r(x)=0}$, gaat de deling precies op, en is ${\displaystyle p}$ het product van ${\displaystyle q}$ en ${\displaystyle d}$. Voor de graden geldt ${\displaystyle n=m+k}$, met ${\displaystyle k}$ de graad van ${\displaystyle q}$.

x+1 / 4x³+5x²+3x+2 \ 4x²+x+2
      4x³+4x²
      ———————
           x²+3x+2
           x²+ x
           ———————
              2x+2
              2x+2
              ————
                 0

Het Hornerschema is een algoritme om efficiënt een veelterm in een punt ${\displaystyle x_{0}}$ te evalueren of om een polynoom snel te delen door een lineaire polynoom.

Het is mogelijk voor de variabele een matrix te substitueren. Bij iedere matrix ${\displaystyle A}$ hoort een karakteristieke polynoom ${\displaystyle f}$. Substitutie van de matrix ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle f}$ levert de nulmatrix op: ${\displaystyle f(A)=0}$.

De karakteristieke polynoom ${\displaystyle P_{A}}$ van een vierkante ${\displaystyle n\times n}$-matrix ${\displaystyle A}$ is

${\displaystyle P_{A}(\lambda )=\mathrm {Det} (A-\lambda I_{n})}$

Waarin

• Det de determinant voorstelt
• ${\displaystyle I_{n}}$ de ${\displaystyle n\times n}$-eenheidsmatrix

De nulpunten van de karakteristieke polynoom zijn de eigenwaarden van de matrix. Dit vindt toepassingen in de sterkteleer, de kwantummechanica, trillingen, de akoestiek enz.

Een polynoom is volledig bepaald door z'n coëfficiënten. Als het niet om de corresponderende functie gaat, is niet aan de orde welke waarden ${\displaystyle x}$ kan aannemen; de polynomen corresponderen een-op-een met eindige rijen getallen (de coëfficiënten). Dan bestaat de rol van de variabele ${\displaystyle x}$ er slechts in de notatie als som van gewogen machten van ${\displaystyle x}$ mogelijk te maken, en zo op natuurlijke wijze de regels voor het optellen en vermenigvuldigen van de polynomen in te voeren. Vooral voor het vermenigvuldigen is deze notatie handig, men hoeft niet een speciale regel voor het vermenigvuldigen van eindige rijen getallen toe te passen.

Er zijn ook polynomen met andere coëfficiënten dan reële getallen, of met coëfficiënten die beperkt zijn tot een deel van de reële getallen. Als de verzameling waaruit de coëfficiënten worden gekozen een commutatieve ring is, vormen de polynomen ook een commutatieve ring.

Bij een gegeven commutatieve ring kan men de coëfficiënten kiezen uit een deelring (eventueel de ring zelf) en als domein van de polynomiale functies een deelverzameling van de ring (eventueel weer de ring zelf) nemen. De afbeelding die aan een polynoom de bijbehorende polynomiale functie toevoegt, is dan lineair. De afbeelding is dan en slechts dan injectief, als alleen de polynoom die identiek nul is, een functie oplevert die de nulfunctie is (een functie die bij ieder argument uit het domein de waarde 0 oplevert). Dit is niet het geval als het domein van de polynomiale functies eindig is en een deelverzameling van de deelring, men kan dan eenvoudig een polynoom construeren die niet identiek nul is, maar waarbij wel de erdoor vastgelegde functie bij elk argument nul oplevert (nulfunctie). Er zijn dan bij een polynomiale functie (wat trouwens iedere functie dan is) oneindig veel corresponderende polynomen.

Dit onderstreept de verschillen tussen een polynoom als uitdrukking en een polynoom als functie. Let wel, als het domein een oneindige verzameling is, is er wel een een-op-een correspondentie tussen de uitdrukkingen en de functies.

Er zijn ook veeltermen in meer dan één variabele. Een veelterm in ${\displaystyle m}$ variabelen (${\displaystyle x_{1}}$ tot ${\displaystyle x_{m}}$) van de orde ${\displaystyle n}$, is dan een uitdrukking van de volgende vorm, of daartoe herleidbaar:

${\displaystyle a_{0}+\sum _{1\leq k\leq m}a_{1,k}x_{k}+\sum _{1\leq k_{1}\leq k_{2}\leq m}a_{2,k_{1},k_{2}}x_{k_{1}}x_{k_{2}}+\ldots +\sum _{1\leq k_{1}\leq \ldots \leq k_{n}\leq m}a_{n,k_{1},\ldots ,k_{n}}x_{k_{1}}\cdots x_{k_{n}}}$,

waarin ten minste een van de coëfficiënten ${\displaystyle a_{n,k_{1},...,k_{n}}}$ ongelijk is aan 0. Men spreekt wel van multinomiale functies. Zo'n veelterm kan ook geschreven worden als:

${\displaystyle \sum _{m_{1},\ldots ,m_{n}}a_{m_{1},\ldots ,m_{n}}x_{1}^{m_{1}}\cdots x_{n}^{m_{n}}}$,

waarin slechts eindig veel coëfficiënten ongelijk aan 0 zijn. De hoogste voorkomende macht ${\displaystyle m_{i}}$ heet de graad van de variabele ${\displaystyle x_{i}}$. Het getal ${\displaystyle m_{1}+\ldots +m_{n}}$ heet de graad van de term ${\displaystyle a_{m_{1},\ldots ,m_{n}}x_{1}^{m_{1}}\cdots x_{n}^{m_{n}}}$. Het maximum van de graden van de afzonderlijke termen heet de graad van de polynoom.

Specifiek voor een polynoom in één variabele ${\displaystyle x}$ is de hoofdstelling van de algebra van toepassing, die zegt dat de polynoom is te schrijven als het product van een constante en een aantal keer het verschil tussen ${\displaystyle x}$ en een andere constante. Deze stelling is niet eenvoudig uitbreidbaar naar een polynoom in meer variabelen.

Enkele speciale typen polynomen hebben een eigen naam, waaronder:

Polynomen worden veel toegepast in algoritmen, onder andere in Savitsky-Golayfilters.

Polynomen met complexe coëfficiënten komen bijvoorbeeld voor bij de oplossing van differentiaalvergelijkingen door fouriertransformatie of laplacetransformatie. Dit heeft praktische toepassingen in de elektrotechniek, regeltechniek, communicatietechniek en de kwantummechanica.

• Polynomials & Scientific Calculator. online rekenmachine voor polynomen
• Polynomial Long Division. staartdelen met polynomen

Mediabestanden die bij dit onderwerp horen, zijn te vinden op de pagina Polynoom op Wikimedia Commons.