Analyse (wiskunde)

De analyse bestudeert de mate van verandering binnen functies, zoals hellingen en krommingen, en ook problemen die met oppervlakte te maken hebben, zoals het vinden van het zwaartepunt van een meetkundige figuur.

De analyse als afzonderlijke tak van de wiskunde begint bij de differentiaal- en integraalrekening, parallel uitgevonden door Leibniz en Newton, die elkaar de uitvinding betwistten. Leibniz ontwikkelde deze technieken om meetkundige objecten te bestuderen, terwijl Newton ze nodig had om een solide basis te geven aan zijn hemelmechanica. Ook Barrow, Descartes, De Fermat en Huygens hebben belangrijke vroege bijdragen geleverd.

De differentiaalrekening bestudeert het begrip afgeleide, dat de mate van verandering van een functie aangeeft. Een van de belangrijkste redenen om analyse te ontwikkelen was om het raaklijnprobleem op te lossen. De integraalrekening doet het omgekeerde van de differentiaalrekening: uitgaande van de beginsituatie en de mate van verandering, wordt de oorspronkelijke functie teruggevonden. De oppervlakte van een meetkundige figuur kan worden uitgedrukt als een integraal, ook als die figuur kromlijnig is (voor de oppervlakte van rechtlijnige veelhoeken is geen integraalrekening nodig). Een rigoureuze definitie van afgeleiden en integralen maakt gebruik van limieten en continuïteit.

Gedurende eeuwen bleef de analyse zonder consistente logische onderbouw, en maakte gebruik van schijnbaar tegenstrijdige concepten zoals "oneindig kleine grootheden verschillend van 0" (infinitesimalen). Pas in de negentiende eeuw plaatsen wiskundigen zoals Karl Weierstrass de analyse in een streng kader onafhankelijk van intuïtieve begrippen zoals "streven naar" en "in eerste benadering". Het is die evolutie die aanleiding gaf tot een correcte studie van de verzameling der reële getallen en de formele verzamelingenleer op zich.

De woorden analyse en synthese komen uit het Grieks en betekenen zoveel als 'ontleden' en 'samenvoegen'. Bij Oud-Griekse wiskundigen waren ze de twee stappen in de algemene oplossingsmethode van wiskundige (bij hen typisch meetkundige) problemen. Bij René Descartes slaat de term analytische meetkunde op het gebruik van getallen (coördinaten) en algebraïsche functies om meetkundige vraagstukken op te lossen.

Zie limiet, afgeleide en integraalrekening voor de hoofdartikels over deze onderwerpen.

Zij ${\displaystyle f:I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ een reële functie die minstens gedefinieerd is in een open interval ${\displaystyle I,}$ en zij ${\displaystyle a}$ een element van ${\displaystyle I.}$ We zeggen dat ${\displaystyle f}$ een limiet heeft in ${\displaystyle a}$ als er een reëel getal ${\displaystyle b}$ bestaat met de eigenschap dat voor willekeurig kleine intervallen rond ${\displaystyle b,}$ er altijd intervallen rond ${\displaystyle a}$ bestaan die door ${\displaystyle f}$ binnen de gegeven intervallen rond ${\displaystyle b}$ worden afgebeeld:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:f\left((a-\delta ,a+\delta )\right)\subset (b-\varepsilon ,b+\varepsilon ).}$

In dat geval schrijft men ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}$ en men zegt ook dat ${\displaystyle f}$ continu is in ${\displaystyle a.}$

Een functie ${\displaystyle f}$ heet afleidbaar in ${\displaystyle a}$ als de volgende limiet, genaamd de afgeleide van ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle a,}$ bestaat:

${\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}.}$[1]

De afgeleide geeft de helling van de raaklijn aan de grafiek van ${\displaystyle f}$ in het punt ${\displaystyle (a,f(a)).}$

De integraal van een functie ${\displaystyle f}$ op een interval ${\displaystyle I=(a,b)}$ is de limiet, als die bestaat, van de totale oppervlakte van willekeurig dunne verticale stroken onder de grafiek:

${\displaystyle \int _{x=a}^{b}f(x)\ dx=\lim _{\delta \to 0}\delta \sum _{n=0}^{[(b-a)/\delta ]}f(a+n\delta ).}$

De hoofdstelling van de integraalrekening luidt dat afgeleiden en integralen in zekere zin elkaars omgekeerde bewerking zijn; iets nauwkeuriger: als in bovenstaande uitdrukking de integraal wordt opgevat als een functie van ${\displaystyle b:}$

${\displaystyle F(c)=\int _{x=a}^{c}f(x)\ dx\ (c\in (a,b))}$

dan is die functie ${\displaystyle F}$ afleidbaar en haar afgeleide in een punt ${\displaystyle c_{0}}$ is opnieuw ${\displaystyle f(c_{0}).}$

Uitgaande van de oorspronkelijke differentiaal- en integraalrekening zijn veel specialisaties ontstaan met elk een eigen problematiek maar met veel onderlinge wisselwerking.

• Zie geschiedenis van de analyse

Wikibooks heeft meer over dit onderwerp: Analyse.