Inverse

Onder de inverse bewerking van een (rekenkundige) operatie verstaan we een bewerking die in bepaalde zin het omgekeerde bereikt. Zo is aftrekken de inverse of tegengestelde operatie van optellen, delen is de inverse operatie van vermenigvuldigen. Met machtsverheffen zijn er twee mogelijkheden. Als de variabele ${\displaystyle x}$ het grondtal is, bijvoorbeeld in ${\displaystyle x^{2},}$ is worteltrekken de inverse bewerking van machtsverheffen. Als ${\displaystyle x}$ in de exponent staat, bijvoorbeeld in ${\displaystyle e^{x},}$ is de logaritme de inverse van machtsverheffen.

Vermenigvuldigen we een getal eerst met 3 en daarna met 1/3 dan is het eindresultaat het oorspronkelijke getal. De getallen 3 en 1/3 leveren immers als product het getal 1 op, dat voor de vermenigvuldiging het neutrale element is. Zij heten daarom elkaars inverse ten opzichte van de bewerking vermenigvuldigen. Zo heeft elk getal of variabele ${\displaystyle x,}$ mits ongelijk 0, met betrekking tot de vermenigvuldiging een inverse ${\displaystyle 1/x.}$

Algemeen verstaat men onder de inverse van een variabele ${\displaystyle x}$ ten opzichte van een bepaalde binaire bewerking het getal ${\displaystyle x^{-1}}$ waarvoor het resultaat van de bewerking toegepast op ${\displaystyle x}$ en dat getal het neutrale element van die bewerking oplevert.

Bij het rekenen modulo een getal ${\displaystyle n}$ is de vermenigvuldigingsinverse van het getal ${\displaystyle x}$ bepaald door:

${\displaystyle x^{-1}\cdot x=1\mod n}$

Als ${\displaystyle n}$ bijvoorbeeld gelijk is aan 29, kunnen van de getallen 1 tot en met 28 de inversen berekend worden. Zo is 25 de inverse van 7, want

${\displaystyle 25\times 7=175\equiv 1\mod 29.}$

Om de vermenigvuldigingsinverse te bepalen wordt het euclidisch algoritme gebruikt.

Zoals in het artikel functie uiteengezet, kan men bij een bijectieve afbeelding ${\displaystyle A}$ een inverse afbeelding ${\displaystyle A^{-1}}$ definiëren, die als het ware het omgekeerde van ${\displaystyle A}$ bewerkstelligt. Past men eerst ${\displaystyle A}$ toe op ${\displaystyle x,}$ en vervolgens op het resultaat ${\displaystyle A(x)}$ de inverse afbeelding ${\displaystyle A^{-1},}$ dan is het resultaat weer gelijk aan ${\displaystyle x;}$ in formulevorm

${\displaystyle A^{-1}(A(x))=x}$

Aan de hand van een voorbeeld zien we hoe van een functie de inverse bepaald kan worden. Zij:

${\displaystyle f(x)=e^{3x}}$

Dit is een bijectieve functie, waarvan dus de inverse bestaat. De inverse functie ${\displaystyle f^{-1}}$ voegt aan een beeld ${\displaystyle y=f(x)}$ het origineel ${\displaystyle x}$ toe:

${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$ .

Door het oplossen van ${\displaystyle x}$ uit de vergelijking:

${\displaystyle y=e^{3x}}$ ,

volgt

${\displaystyle f^{-1}(y)=x={\tfrac {1}{3}}\ln(y)}$

Dus voor ${\displaystyle y>0}$ is:

${\displaystyle f^{-1}(y)={\tfrac {1}{3}}\ln(y)}$

Ook bij transformaties is er sprake van inverse transformaties. Een transformatie is een (partiële) functie van een verzameling naar zichzelf. Zo zijn "Verdubbeling" en "Halvering" transformaties van de verzameling van de reële getallen. De ene transformatie is de inverse van de andere.

Onder een functietransformatie verstaan we een bewerking die een functie via een bepaald voorschrift afbeeldt op een andere functie.

Een voorbeeld van een inverse functietransformatie is de inverse Laplacetransformatie.

De inverse matrix (zie aldaar) van een vierkante inverteerbare matrix is de inverse ten opzichte van de bewerking matrixvermenigvuldiging. Omdat matrixvermenigvuldiging overeenkomt met na elkaar toepassen van de bijbehorende (lineaire) afbeeldingen, is de inverse van een matrix ook de matrix van de inverse afbeelding.

De inverse van een partiële orde wordt verkregen door de beide operanden te verwisselen.