Matrix (wiskunde)

Een alternatieve definitie beschouwt een matrix als een dubbelgeïndiceerde verzameling. Laat ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ twee natuurlijke getallen zijn, en ${\displaystyle K}$ een lichaam. Een ${\displaystyle m\times n}$-matrix over ${\displaystyle K}$ is een afbeelding

${\displaystyle A:\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}\to K,\quad (i,j)\mapsto a_{ij}}$,

die aan elk paar indices ${\displaystyle (i,j)}$ het element ${\displaystyle a_{ij}}$ toevoegt. Het getal ${\displaystyle m}$ heet het aantal rijen en het getal ${\displaystyle n}$ het aantal kolommen van de matrix ${\displaystyle A}$.

Het getallenlichaam ${\displaystyle K}$ is meestal ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (reële matrix) of ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (complexe matrix).

Het product ${\displaystyle cA}$ van de scalaire vermenigvuldiging van een matrix ${\displaystyle A}$ met het getal ${\displaystyle c}$ (in het spraakgebruik van de abstracte algebra een scalair genoemd) wordt berekend door elk element van ${\displaystyle A}$ met ${\displaystyle c}$ te vermenigvuldigen:

${\displaystyle (cA)_{i,j}=c\cdot A_{i,j}=}$

Voorbeeld

${\displaystyle 2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$

De getransponeerde van een ${\displaystyle m\times n}$-matrix ${\displaystyle A}$ is de ${\displaystyle n\times m}$-matrix ${\displaystyle A^{\top }}$ (ook aangeduid met ${\displaystyle A^{\text{tr}}}$ of ${\displaystyle ^{t}A}$) die men verkrijgt door de verwisseling van rijen en kolommen: ${\displaystyle A_{i,j}^{\top }=A_{j,i}}$.

De getransponeerde van een getransponeerde matrix is weer de oorspronkelijke matrix.

${\displaystyle (A^{\top })^{\top }=A}$

Voorbeeld

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&0\\3&0&7\\6&-2&3\end{bmatrix}}^{\top }={\begin{bmatrix}1&0&3&6\\2&-6&0&-2\\3&0&7&3\end{bmatrix}}}$

Het verwisselen van twee rijen. Als voorbeeld worden de rijen 1 en 2 omgewisseld.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&0\\3&0&7\\6&-2&3\end{bmatrix}}\quad {\textrm {wordt}}\quad {\begin{bmatrix}0&-6&0\\1&2&3\\3&0&7\\6&-2&3\end{bmatrix}}}$

Het vermenigvuldigen van een rij met een getal dat niet nul is. Als voorbeeld wordt rij 1 vermenigvuldigd met 3.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&0\\3&0&7\\6&-2&3\end{bmatrix}}\quad {\textrm {wordt}}\quad {\begin{bmatrix}3&6&9\\0&-6&0\\3&0&7\\6&-2&3\end{bmatrix}}}$

Het optellen van een veelvoud van een rij bij een andere rij. Als voorbeeld: rij 1 vermenigvuldigd met 3, en opgeteld bij rij 2.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&0\\3&0&7\\6&-2&3\end{bmatrix}}\quad {\textrm {wordt}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3\\3&0&9\\3&0&7\\6&-2&3\end{bmatrix}}}$

Vertrouwde eigenschappen van getallen breiden zich uit tot deze operaties op matrices: optelling is bijvoorbeeld commutatief, dat wil zeggen dat matrixoptelling niet afhankelijk is van de volgorde van de matrices:

${\displaystyle A+B=B+A}$[1]

Transpositie van een matrix is compatibel met optelling en scalaire vermenigvuldiging:

${\displaystyle (A+B)^{\top }=A^{\top }+B^{\top }}$

en

${\displaystyle (cA)^{\top }=c\cdot A^{\top }}$

Een bedrijf levert cement, kalk, gips in zakken van resp. 25, 10 en 5 kg. Het bedrijf heeft 4 klanten: Bik, Mets, Timp en Voeg. De door deze klanten in een bepaald jaar afgenomen aantallen zakken laten zich overzichtelijk in een 4×3-matrix A ordenen:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}14&9&3\\2&11&15\\0&12&17\\5&2&3\end{bmatrix}}}$

We zien bijvoorbeeld dat A₃₂ = 12, dus Timp heeft dat jaar 12 zakken kalk van 10 kg afgenomen.

De afgenomen aantallen van het volgende jaar staan in de matrix B.

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}17&10&4\\3&7&8\\0&14&15\\4&3&3\end{bmatrix}}}$

In dit jaar heeft Timp 14 zakken kalk van 10 kg gekocht. Om te bepalen wat voor elke klant de totale afname van elk product is in deze twee jaren, moeten we de matrices elementsgewijs optellen. De zo ontstane matrix heet de som A+B van de beide matrices:

${\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}31&19&7\\5&18&23\\0&26&32\\9&5&6\end{bmatrix}}}$

De prijs van een zak cement is €12, van een zak kalk €9 en van een zak gips €8. In de 3×2-matrix W staan de prijzen en gewichten van de drie producten:

${\displaystyle W={\begin{bmatrix}12&25\\9&10\\8&5\end{bmatrix}}}$

Om na te gaan wat het totale bedrag is dat Bik in het eerste jaar heeft besteed, moeten we uitrekenen:

${\displaystyle 14\times 12+9\times 9+3\times 8}$,

waarin we de getallen van de eerste rij van A (Bik) en de eerste kolom van W (prijzen) herkennen.

Het totale gewicht van de door Bik gekochte producten berekenen we op soortgelijke manier:

${\displaystyle 14\times 25+9\times 10+3\times 5}$,

waarin nu de getallen van de eerste rij van A (Bik) en de tweede kolom van W (gewichten) staan. Ook voor de andere klanten kunnen we zulke berekeningen maken. Samen heten ze matrixvermenigvuldiging en geven ze een matrix die we het product AW van A en W noemen:

${\displaystyle AW={\begin{bmatrix}14&9&3\\2&11&15\\0&12&17\\5&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}12&25\\9&10\\8&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}273&455\\243&235\\244&205\\102&160\end{bmatrix}}}$

Een bijzonder geval van matrixvermenigvuldiging is nauw verbonden met lineaire vergelijkingen: als ${\displaystyle x}$ een kolomvector (dat wil zeggen een n×1-matrix) van ${\displaystyle n}$ variabelen ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ voorstelt en ${\displaystyle A}$ een ${\displaystyle m\times n}$-matrix is, dan is de matrixvergelijking

${\displaystyle Ax=b}$

waarin ${\displaystyle b}$ een willekeurige m×1-kolomvector is, equivalent aan het stelsel lineaire vergelijkingen

${\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}}$

${\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}}$.[2]

Op deze manier kunnen matrices worden gebruikt om stelsels van lineaire vergelijkingen op een compacte wijze te noteren, te manipuleren en op te lossen.

Matrices en matrixvermenigvuldiging zijn direct gerelateerd aan lineaire afbeeldingen en samenstellingen daarvan. Een reële m×n-matrix ${\displaystyle A}$ representeert een lineaire afbeelding

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m};x\mapsto Ax^{T}}$

die elke vector ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ afbeeldt op het (matrix)product ${\displaystyle Ax^{T}}$, een vector in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Veelal schrijft men eenvoudig ${\displaystyle Ax}$ in plaats van ${\displaystyle Ax^{T}}$, waarbij ${\displaystyle x}$ dan opgevat wordt als kolomvector.

Omgekeerd bepaalt de lineaire afbeelding ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to R^{m}}$ de m×n-matrix ${\displaystyle A}$ met als i-de kolom, opgevat als vector, het beeld ${\displaystyle f(e_{i})}$ van de i-de eenheidsvector ${\displaystyle e_{i}}$. Dus:

${\displaystyle A=(f(e_{1}),\ldots ,f(e_{n}))^{T}}$.

De matrix ${\displaystyle A}$ bepaalt op zijn beurt weer de afbeelding ${\displaystyle f}$. Immers:

${\displaystyle f(x)=f(x_{1}e_{1}+\ldots +x_{n}e_{n})=x_{1}f(e_{1})+\ldots +x_{n}f(e_{n})=Ax^{T}}$

Van de matrix ${\displaystyle A}$ zegt men dat hij de lineaire afbeelding ${\displaystyle f}$ representeert. ${\displaystyle A}$ noemt men de matrix van ${\displaystyle f}$.

De onderstaande tabel toont een aantal reële 2×2-matrices met de bijbehorende lineaire transformaties van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Het blauwe origineel wordt afgebeeld op het groene rooster en de groene vormen, de oorsprong (0,0) wordt gemarkeerd met een zwart punt.

Horizontale afschuiving met m=1.25.	Horizontale spiegeling	Samendrukking met r=3/2	Opschalen met een factor 3/2	Draaiing over π/6 = 30°
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\pi /6)&-\sin(\pi /6)\\\sin(\pi /6)&\cos(\pi /6)\end{bmatrix}}}$

In de relatie tussen matrices en lineaire afbeeldingen correspondeert matrixvermenigvuldiging met samenstelling van afbeeldingen[3]. Als de ${\displaystyle m\times n}$-matrix ${\displaystyle A}$ behoort bij de lineaire afbeelding ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ en de ${\displaystyle k\times m}$-matrix ${\displaystyle B}$ bij de lineaire afbeelding ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}}$, dan behoort bij de samenstelling ${\displaystyle g\circ f}$ het product ${\displaystyle BA}$ van de matrices ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$. Immers:

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(Ax)=B(Ax)=(BA)x}$

De laatste gelijkheid volgt uit de hierboven genoemde associativiteit van de matrixvermenigvuldiging.

De elementen ${\displaystyle a_{ii}}$ van de vierkante matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ vormen de hoofddiagonaal van ${\displaystyle A}$.

In relatie met de hoofddiagonaal worden speciale type vierkante matrices onderscheiden.

Als alle elementen buiten de hoofddiagonaal van de vierkante matrix ${\displaystyle A}$ gelijk aan nul zijn, wordt ${\displaystyle A}$ een diagonaalmatrix genoemd. Als alleen alle elementen boven (onder) de hoofddiagonaal nul zijn, wordt ${\displaystyle A}$ een beneden- respectievelijk een bovendriehoeksmatrix genoemd.

Als n bijvoorbeeld gelijk is aan 3, dan zien deze matrices er als volgt uit

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d_{11}&0&0\\0&d_{22}&0\\0&0&d_{33}\\\end{bmatrix}}}$ (diagonaal), ${\displaystyle {\begin{bmatrix}l_{11}&0&0\\l_{21}&l_{22}&0\\l_{31}&l_{32}&l_{33}\\\end{bmatrix}}}$ (beneden-) en ${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\\\end{bmatrix}}}$ (bovendriehoeksmatrix).

Het spoor van een vierkante matrix ${\displaystyle A}$, genoteerd als ${\displaystyle \mathrm {sp} (A)}$, is de som van haar diagonaalelementen. Terwijl, zoals boven vermeld, matrixvermenigvuldiging niet commutatief is, is het spoor van het product van twee matrices onafhankelijk van de volgorde van de factoren: ${\displaystyle \mathrm {sp} (AB)=\mathrm {sp} (BA)}$.[4]

De determinant ${\displaystyle \det(A)}$, of ${\displaystyle |A|}$, van een vierkante matrix ${\displaystyle A}$ is een functie van de elementen van die matrix. Bepaalde eigenschappen van de matrix kunnen afgelezen worden aan de determinant. Zo is een matrix dan en slechts dan inverteerbaar als zijn determinant ongelijk is aan nul, en is de absolute waarde van de determinant gelijk aan de oppervlakte (in de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) of het volume (in de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) van het beeld van het eenheidsvierkant (of de eenheidskubus), terwijl het teken correspondeert met de oriëntatie van de corresponderende lineaire afbeelding: de determinant is dan en slechts dan positief als de oriëntatie behouden blijft.

Een vierkante matrix correspondeert met een lineaire transformatie van een lineaire ruimte. Soms wordt door deze transformatie een lijn door de oorsprong afgebeeld op zichzelf. Wel is het beeld van een punt op de lijn meestal niet het punt zelf, maar een of ander veelvoud van dat punt. De vectoren op de lijn heten eigenvectoren van de matrix (en van de transformatie) en het getal dat het veelvoud bepaalt heet eigenwaarde van de matrix (en de transformatie. Om precies te zijn: een getal λ en een vector ${\displaystyle v\neq 0}$ worden respectievelijk eigenwaarde en eigenvector van de vierkante matrix ${\displaystyle A}$ genoemd[nb 1][5] als geldt:

${\displaystyle Av=\lambda v}$

Deze relatie kan ook geschreven worden als:

${\displaystyle (A-\lambda \mathrm {I} )v=0}$,

wat betekent dat voor een eigenwaarde λ geldt:

${\displaystyle \det(A-\lambda \mathrm {I} )=0}$.

De eigenwaarden zijn dus de wortels van de polynoom

${\displaystyle P_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda \mathrm {I} )}$,

die de karakteristieke polynoom van ${\displaystyle A}$ wordt genoemd.

Een vierkante matrix ${\displaystyle A}$, die gelijk is aan haar getransponeerde matrix, wat wil zeggen dat

${\displaystyle A=A^{\top }}$,

is een symmetrische matrix.

Als zij gelijk is aan het negatieve van haar getransponeerde, wat wil zeggen dat

${\displaystyle A=-A^{\top }}$,

dan is het een scheefsymmetrische matrix.

Bij complexe matrices wordt het begrip symmetrie vaak vervangen door het begrip Hermitische matrices, die voldoen aan

${\displaystyle A=A^{*}}$,

waarin de ster de complex geadjugeerde van de matrix aangeeft, dat wil zeggen de getransponeerde van de complex geconjugeerde van ${\displaystyle A}$.

Door de spectraalstelling hebben reële symmetrische matrices en complexe Hermitische matrices een basis van eigenvectoren. In beide gevallen zijn alle eigenwaarden reëel[6] Deze stelling kan voor matrices met oneindig veel rijen en kolommen worden veralgemeend naar oneindig dimensionale situaties. zie hieronder.

Een reële symmetrische n×n-matrix ${\displaystyle A}$ wordt definiet genoemd, als de reële kwadratische vorm

${\displaystyle Q_{A}(x)=x^{\top }Ax}$

die door de matrix wordt voortgebracht, voor elke vector ${\displaystyle x\neq 0}$ hetzelfde teken heeft. Is dat teken positief, dan heet de vorm positief-definiet, is het negatief, dan negatief-definiet.[7]

Een reële vierkante matrix ${\displaystyle A}$ heet orthogonaal, als de rijen en ook de kolommen een orthonormaal stelsel vormen. Dit houdt in dat:

${\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=\mathrm {I} }$,

waarin I de eenheidsmatrix is. Hieraan is te zien dat ${\displaystyle A}$ inverteerbaar is met inverse matrix

${\displaystyle A^{-1}=A^{\mathrm {T} }}$.

De determinant van een orthogonale matrix is +1 of −1. De waarde +1 hoort bij een matrix die een draaiing voorstelt en de waarde −1 bij een matrix die een draaispiegeling representeert.

Er zijn verschillende methoden om matrices in een voor berekeningen meer toegankelijke vorm om te zetten. Aan deze methoden wordt in het algemeen gerefereerd als matrixtransformatie of matrixdecompositie technieken. Het belang van al deze decompositietechnieken is dat zij bepaalde eigenschappen van de matrices in kwestie bewaren, zoals de determinant, de rang of de inverse, zodat deze grootheden na toepassing van de transformatie kunnen worden berekend, of dat bepaalde matrixoperaties voor sommige typen van matrices algoritmisch gemakkelijker kunnen worden uitgevoerd.

Lineaire afbeeldingen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ zijn equivalent aan m×n-matrices, zoals hierboven beschreven. Meer in het algemeen kan elke lineaire afbeelding ${\displaystyle f:V\to W}$ tussen eindigdimensionale vectorruimten, na de keuze van de bases ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$ van ${\displaystyle V}$, en ${\displaystyle \{w_{1},\ldots ,w_{m}\}}$ van ${\displaystyle W}$, worden beschreven door de matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})}$, die zodanig is dat

${\displaystyle f(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}\qquad {\mbox{voor }}j=1,\ldots ,n}$.

Met andere woorden de j-de kolom van ${\displaystyle A}$ drukt het beeld van de j-de basisvector ${\displaystyle v_{j}}$ uit in termen van de basisvectoren ${\displaystyle (w_{i})}$ van ${\displaystyle W}$. Deze relatie bepaalt dus op unieke wijze de elementen ${\displaystyle (a_{ij})}$ van de matrix ${\displaystyle A}$. Merk op dat de matrix afhankelijk is van de keuze van de bases: verschillende keuzes van de bases geven aanleiding tot verschillende, maar wel equivalente matrices.[11] Veel van de bovengenoemde begrippen kunnen in dit licht worden geherinterpreteerd; de getransponeerde matrix ${\displaystyle A^{T}}$ beschrijft bijvoorbeeld de getransponeerde van een lineaire afbeelding gegeven door ${\displaystyle A}$, met betrekking tot de duale basissen.[12]

Wanneer met matrices wordt gerekend, moet zijn bepaald uit welke verzameling de elementen in de matrix komen. Dat kunnen de reële- (${\displaystyle \mathbb {R} }$), de complexe (${\displaystyle \mathbb {C} }$) of de rationale getallen (${\displaystyle \mathbb {Q} }$) zijn. Ook kan een eindig lichaam/veld worden gekozen, in de coderingstheorie gebeurt dit. Het lichaam waaruit de elementen worden gekozen moet gesloten zijn.

Wanneer het alleen nodig is twee matrices bij elkaar op te kunnen tellen of te vermenigvuldigen, is het een voldoende eis dat de elementen uit een ring komen. Wanneer van een vierkant matrix ook de inverse moet kunnen worden bepaald, moeten de matrices over een lichaam zijn gedefinieerd.

Een groep is een wiskundige structuur die uit een verzameling van objecten bestaat samen met een binaire operatie, dat wil zeggen een operatie die elke twee objecten onder bepaalde eisen tot een derde combineert.[13] Een groep waarin de objecten matrices zijn en de groepsoperatie matrixvermenigvuldiging, noemt men een matrixgroep.[nb 2][14] Aangezien in een groep elk element inverteerbaar is, zijn de meest algemene matrixgroepen de groepen van alle inverteerbare matrices van een bepaalde orde, de zogenaamde algemene lineaire groepen.

Elke eigenschap van matrices die onder matrixproducten en inverses wordt bewaard, kan worden gebruikt om verdere matrixgroepen te definiëren. Matrices met een bepaalde omvang en met een determinant 1 vormen bijvoorbeeld een deelgroep van hun algemene lineaire groep. Deze kleinere deelgroep van een algemene lineaire groep wordt een speciale lineaire groep[15] genoemd. Orthogonale matrices, bepaald door de voorwaarde

${\displaystyle M^{\top }M=I}$

vormen de orthogonale groep.[16] Men noemt zijn orthogonaal, aangezien de geassocieerde lineaire transformaties van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ hoeken bewaren in de zin dat het scalair product van twee vectoren onveranderd blijft onder toepassing van ${\displaystyle M}$ op hen:

${\displaystyle (Mv)\cdot (Mw)=v\cdot w}$.[17]

Elke eindige groep is isomorf met een matrixgroep, zoals men kan zien door de regelmatige voorstelling van de symmetrische groep[18] te beschouwen. Algemene groepen kunnen worden bestudeerd door gebruik te maken van matrixgroepen, die relatief goed worden begrepen door middel van de representatietheorie.[19]

Het is ook mogelijk om matrices met oneindig veel rijen en/of kolommen te beschouwen[20] ook al kan men een oneindig aantal objecten, uit de aard van de zaak, niet expliciet als een matrix opschrijven. Het enige dat telt, is dat voor elk element uit de verzameling die de rijen indiceert, en elk element uit de verzameling die de kolommen indiceert, er een goed gedefinieerd element bestaat (de indexverzamelingen hoeven geen deelverzamelingen van de natuurlijke getallen te zijn). De belangrijkste operaties van optellen, aftrekken, scalaire vermenigvuldiging en transpositie kunnen probleemloos gedefinieerd worden, maar matrixvermenigvuldiging kan echter oneindige sommaties vereisen om de resulterende elementen te definiëren, en deze zijn in het algemeen niet gedefinieerd.

Als oneindige matrices worden gebruikt om lineaire afbeeldingen te beschrijven, kunnen alleen die matrices worden gebruikt waarvan alle kolommen een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 hebben. Wil een matrix ${\displaystyle A}$ een lineaire afbeelding ${\displaystyle f:V\to W}$ beschrijven, dan moeten er in beide ruimten een basis worden gekozen. Dit betekent dat elke vector in de ruimte uniek geschreven kan worden als een eindige lineaire combinatie van basisvectoren. Nu beschrijven de kolommen van ${\displaystyle A}$ de beelden onder ${\displaystyle f}$' van individuele basisvectoren van ${\displaystyle V}$ uitgedrukt in de basis van ${\displaystyle W,}$ wat alleen zinvol is als deze kolommen slechts een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 hebben. Er bestaat echter geen beperking op de rijen van ${\displaystyle A:}$ in het product ${\displaystyle Av}$ zijn er slechts een eindig aantal niet-nulzijnde coëfficiënten van ${\displaystyle v}$ betrokken, zodat elk van zijn elementen, zelfs als deze worden gegeven als een oneindige som van de producten, slechts eindig veel termen ongelijk aan 0 betreffen en daarom goed zijn gedefinieerd. Bovendien komt dit neer op de vorming van een lineaire combinatie van de kolommen van ${\displaystyle A}$ die effectief slechts een eindig aantal van hen betreft, vandaar dat het resultaat slechts een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 heeft, omdat elk van deze kolommen slechts een eindig aantal elementen ongelijk aan 0 heeft. Men ziet ook dat producten van twee goedgedefinieerde matrices van het gegeven type weer van hetzelfde type zijn (op voorwaarde dat zoals gewoonlijk de kolom- en rij-indexverzamelingen overeenkomen) en overeenkomen met de samenstelling van lineaire afbeeldingen.

Oneindige matrices kunnen ook worden gebruikt om operatoren op Hilbert-ruimten te beschrijven. Hier komen convergentie- en continuïteitsvragen naar voren, die opnieuw resulteren in een aantal beperkingen, die moeten worden opgelegd.[nb 3] en in plaats daarvan worden de abstracte en meer krachtige instrumenten uit de functionaalanalyse gebruikt.

Een lege matrix is een matrix, waarin het aantal rijen of kolommen (of beide) nul zijn.[21][22] Een lege matrix heeft geen elementen, maar heeft wel een duidelijk omschreven aantal rijen en kolommen, die nodig zijn voor bijvoorbeeld de definitie van het matrixproduct. Dus als ${\displaystyle A}$ een 3×0-matrix is en ${\displaystyle B}$ een 0×3-matrix, dan is ${\displaystyle AB}$ de 3×3-matrix (die overeenkomt met de nulafbeelding van een driedimensionale ruimte ${\displaystyle V}$ op zichzelf die wordt verkregen als de samenstelling ${\displaystyle g\circ f}$ van de unieke afbeelding ${\displaystyle f}$ van ${\displaystyle V}$ op een 0-dimensionale ruimte ${\displaystyle Z,}$ gevolgd door de nulafbeelding ${\displaystyle g}$ van ${\displaystyle Z}$ terug op ${\displaystyle V}$), terwijl ${\displaystyle BA}$ de 0×0 matrix is (overeenkomend met de unieke afbeelding van ${\displaystyle Z}$ op zichzelf die wordt verkregen als de samenstelling ${\displaystyle f\circ g}$). Er is geen gemeenschappelijke notatie voor lege matrices, maar in de meeste computeralgebrasystemen kan men lege matrices definiëren en kan men ermee rekenen. Merk op dat de determinant van de 0×0-matrix 1 is (en niet 0, wat op het eerste gezicht meer voor de hand zou liggen): de Leibniz-formule geeft deze waarde als een som over de unieke permutatie van de lege verzameling, met een leeg product als de term; de Laplace-expansie voor een 1×1-matrix maakt duidelijk dat de waarde van de 0×0-minor als 1 moet worden genomen. Deze waarde is ook consistent met het feit dat de identiteitsafbeelding van enige eindigdimensionale ruimte op zichzelf determinant 1 heeft, een feit dat vaak gebruikt wordt als onderdeel van de karakterisering van determinanten.

Lineaire transformaties en de bijbehorende symmetrieën spelen een belangrijke rol in de moderne natuurkunde. Elementaire deeltjes in de kwantumveldentheorie worden bijvoorbeeld geclassificeerd als representaties van de Lorentz-groep van de speciale relativiteitstheorie, en meer specifiek door hun gedrag onder de spingroep. Concrete representaties, waarbij de Pauli-matrices en meer in het algemene gamma-matrices een integraal onderdeel van de natuurkundige beschrijving vormen van fermionen, die zich als spinoren.[26] gedragen. Voor de drie lichtste quarks bestaat er een groepstheoretische representatie, waarbij de speciale unitaire groep SU(3); voor hun berekeningen, gebruiken natuurkundigen een handige matrixrepresentatie, die bekend als Gell-Mann-matrices, die ook voor de SU(3) ijkgroep wordt gebruikt en die de basis vormen van de moderne beschrijving van de sterke nucleaire interacties, kwantumchromodynamica. De Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-matrix drukt op zijn beurt uit dat de fundamentele quarktoestanden, die belangrijk zijn voor zwakke interacties, niet hetzelfde zijn als, maar wel lineair gerelateerd zijn aan, de fundamentele quarktoestanden die deeltjes met specifieke en verschillende massa's definiëren.[27]

Het eerste model van de kwantummechanica ( Heisenberg, 1925) representeerde de operatoren van de theorie door oneindigdimensionale matrices die inwerkten op kwantumtoestanden.[28] Dit eerste model staat ook bekend als de matrixmechanica. Een bijzonder voorbeeld is de dichtheidsmatrix, die de "gemengde" toestand van een kwantumsysteem als een lineaire combinatie van elementaire, "zuivere" eigentoestanden karakteriseert.[29]

Een andere matrix dient als een belangrijk instrument voor het beschrijven van de verstrooiingsexperimenten, die de hoeksteen vormen van de experimentele deeltjesfysica: botsingreacties, zoals deze plaatsvinden in deeltjesversnellers, waar niet-interagerende deeltjes op elkaar af stormen en vervolgens in een kleine interactiezone op elkaar botsen, met als resultaat een verzameling van niet-interagerende deeltjes, kunnen worden omschreven als het scalair product van uitgaande deeltjestoestanden en een lineaire combinatie van inkomende deeltjestoestanden. De lineaire combinatie wordt gegeven door een matrix, die bekendstaat als de S-matrix. Deze S-matrix codeert voor alle informatie over de mogelijke interacties tussen deeltjes.[30]

De meetkundige optica kent ook matrixtoepassingen. In deze benaderingswijze wordt het golfkarakter van het licht buiten beschouwing gelaten. Het resultaat is een model waarin lichtstralen inderdaad meetkundige stralen zijn. Als de lichtstralen kleine hoeken maken met de optische as (de zgn. paraxiale benadering), kan men voor dunne lenzen volstaan met de eenvoudige lenzenformule. Is de lens dikker, of heeft men een lenzenstelsel, dan kan de werking van een brekend of reflecterend oppervlak op een gegeven lichtstraal worden beschreven met een vermenigvuldiging van een tweedimensionale vector met een 2×2-matrix: de componenten van de vector zijn de hellingshoek van de lichtstraal en de afstand tot de optische as, terwijl de matrix de breking of reflectie beschrijft. Deze matrix wordt de brekingsmatrix genoemd (reflectie is een bijzonder geval van breking, met brekingsindex = −1). Daarnaast gebruikt men een translatiematrix voor de verplaatsing van het referentievlak naar een volgend brekend of refecterend oppervlak, dat weer zijn eigen brekingsmatrix heeft. Het optische systeem, dat uit een combinatie van lenzen en/of reflecterende elementen bestaat, wordt nu simpelweg gekarakteriseerd door de productmatrix van de achtereenvolgende brekings- en translatiematrices.[31][32]

In de analyse van lineaire elektrische en elektronische netwerken wordt het gedrag van veel elektronische componenten beschreven met het zgn. vierpoolmodel (ook wel tweepoortmodel genoemd). Daarin worden de ingangsspanning en -stroom als een kolomvector ${\displaystyle I=(v_{1},i_{1})}$ beschouwd, en de uitgangsspanning en -stroom als een kolomvector ${\displaystyle U=(v_{2},i_{2})}$. Dit levert een matrixvergelijking ${\displaystyle U=HI}$, waarin ${\displaystyle H}$ een 2×2-matrix is met één impedantie-element ${\displaystyle H_{12}}$, één admittantie-element ${\displaystyle H_{21}}$ en twee dimensieloze elementen ${\displaystyle H_{11}}$ en ${\displaystyle H_{22}}$. Het doorrekenen van schakelingen komt dan neer op het vermenigvuldigen van matrices.[33]

Schematische weergave van een willekeurige wegenstructuur. Een pijltje betekent dat de weg maar in een richting kan worden bereisd: er bestaan dus 2 rechtstreekse routes van A naar C, maar slechts 1 terug van C naar A

Een veelvoorkomend wiskundig vraagstuk is het berekenen op hoeveel manieren men van punt A naar punt D kan gaan, waarbij n opeenvolgende verbindingen worden gebruikt. Hierbij wordt vertrokken van een vierkante matrix waarin per rij, per kolom het aantal directe verbindingen opgegeven is.

Bij de figuur hoort ${\displaystyle W={\begin{bmatrix}0&2&2&0&0&0\\2&0&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&0\\0&1&1&0&0&1\\0&0&1&1&0&1\\0&0&0&1&1&0\end{bmatrix}}}$

Door de matrix hierna tot de macht ${\displaystyle n}$ te verheffen, komen we op een nieuwe matrix uit die het aantal manieren voorstelt waarop men via ${\displaystyle n}$ opvolgende verbindingen van punt A naar punt D kan gaan. Ook ${\displaystyle n}$-stapswegen tussen andere punten kunnen hieruit afgelezen worden.

Voorbeeld: op hoeveel manieren kan men van A naar D gaan in 5 stappen?

${\displaystyle Z=W^{5}={\begin{bmatrix}6&108&128&24&4&40\\88&4&4&40&40&4\\84&14&16&46&44&10\\6&66&80&18&4&28\\32&40&50&28&18&22\\40&12&14&26&24&8\end{bmatrix}}}$

Conclusie: om in 5 stappen van A naar D te gaan, zijn er 24 mogelijkheden (zie element z₁₄).

Om in 5 stappen van B naar C te gaan, zijn er 4 mogelijkheden (zie element z₂₃).

Het woord matrix is door ten minste twee historisch belangrijke schrijvers op een ongewone manier gebruikt.

Bertrand Russell en Alfred North Whitehead gebruikten het woord matrix in hun Principia Mathematica (1910-1913) in de context van hun axioma van reduceerbaarheid. Zij stelden dit axioma voor als een middel om een functie successievelijk tot een van een lager type te reduceren, zodat de functie aan de "onderkant" (0e orde) identiek zal zijn aan haar uitbreiding:

"Laten we de naam van matrix aan enige functie van een willekeurig aantal variabelen geven, waarbij geen sprake is van enige klaarblijkelijke variabelen. Dan wordt enige mogelijke functie anders dan een matrix door middel van veralgemening afgeleid van een matrix, dat wil zeggen door de propositie te beschouwen die beweert dat de functie in kwestie waar is voor alle mogelijke waarden of met sommige waarden van een van de argumenten, waarbij het andere argument of argumenten onbepaald blijven".[44]

Een functie ${\displaystyle \Phi (x,y)}$ van twee variabelen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ kan bijvoorbeeld worden teruggebracht tot een collectie van functies van een enkele variabele, bijvoorbeeld ${\displaystyle y}$, door de functie voor alle mogelijke waarden van "individuen" te "beschouwen", waar ${\displaystyle a_{i}}$ in de plaats van variabele ${\displaystyle x}$ wordt gesubstitueerd. Dan kan de resulterende collectie van functies van de enkele variabele ${\displaystyle y}$, dat wil zeggen ${\displaystyle \Phi (a_{i},y)}$ voor de verschillende ${\displaystyle a_{i}}$ worden gereduceerd tot een "matrix" van waarden door de functie te "beschouwen" voor alle mogelijke waarden van "individuen" ${\displaystyle b_{i}}$ gesubstitueerd in plaats van variabele ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \Phi (a_{i},b_{j})}$ voor alle ${\displaystyle b_{j}}$ en ${\displaystyle a_{i}}$

Alfred Tarski gebruikte het woord "matrix' in 1946 in zijn Introduction to Logic als een synoniem voor zijn notie van waarheidstabel, zoals deze wordt gebruikt in de wiskundige logica[45]

• vierkante matrix: een matrix met evenveel rijen als kolommen;
• diagonaalmatrix: een vierkante matrix waarvan de elementen buiten de hoofddiagonaal 0 zijn
• eenheidsmatrix: een diagonaalmatrix met alle elementen op de hoofdiagonaal gelijk aan 1
• benedendriehoeksmatrix: een vierkante matrix waarvan alle elementen boven de hoofddiagonaal 0 zijn
• bovendriehoeksmatrix: een vierkante matrix waarvan alle elementen onder de hoofddiagonaal 0 zijn
• Hessenbergmatrix: een vierkante matrix waarvan alle elementen onder de eerste benedendiagonaal of alle elementen boven de eerste bovendiagonaal 0 zijn
• tridiagonale matrix: een vierkante matrix waarvan alle elementen onder de eerste benedendiagonaal en alle elementen boven de eerste bovendiagonaal 0 zijn

• symmetrische matrix: een vierkante matrix waarin de elementen gespiegeld zijn rond de hoofddiagonaal
• antisymmetrische matrix: een vierkante matrix waarvan de gespiegelde elementen tegengesteld zijn aan elkaar
• hermitische matrix: een complexe matrix waarvan de getransponeerde gelijk is aan de complex toegevoegde matrix
• ijle (of schaarse of dunbezette) matrix: een matrix waarin het merendeel van de elementen de waarde 0 hebben
• nulmatrix: een matrix waarvan alle elementen 0 zijn

• orthogonale matrix: een matrix met orthonormale kolommen (en rijen)
• unitaire matrix: een complexe matrix met orthonormale kolommen (en rijen)
• normale matrix: een complexe matrix die commuteert met zijn hermitisch toegevoegde matrix
• singuliere matrix: een vierkante matrix met determinant nul

• Vandermonde-matrix
• rotatiematrix: een matrix gebruikt om functies gedefinieerd door hun parametervergelijking te roteren
• magisch vierkant: een matrix waarvan de som van de getallen in de rijen en kolommen, vaak ook de diagonalen, constant is