Vlak (meetkunde)

Een vlak kan vastgelegd worden door een punt P in het vlak en een vector n loodrecht op het vlak, de normaalvector, die de oriëntatie van het vlak bepaalt. Het vlak bestaat dan uit de punten waarvan de verschilvector met P loodrecht op de normaalvector staat.Het vlak is dus:

${\displaystyle \{Q|(Q-P)\cdot n=0\}}$

Als P en n in een driedimensionale ruimte gegeven zijn door:

${\displaystyle P=(x_{0},y_{0},z_{0}),n=(x_{n},y_{n},z_{n})}$,

bestaat het vlak uit de punten (x,y,z) waarvoor geldt:

${\displaystyle xx_{n}+yy_{n}+zz_{n}=x_{0}x_{n}+y_{0}y_{n}+z_{0}z_{n}}$.

Uit het voorgaande zien we dat de punten in een vlak voldoen aan de algemene vlakvergelijking:

${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$

Hierin is (a,b,c) de normaalvector van het vlak. Als ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ een gegeven punt in het vlak is, geldt:

${\displaystyle d=-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}}$.

Drie punten P₁, P₂ en P₃ die niet op één rechte liggen, bepalen precies het vlak:

${\displaystyle \{aP_{1}+bP_{2}+cP_{3}|a+b+c=1\}}$.