Ruimte (wiskunde)

Een ruimte kan structuur erven van een andere ruimte. Voorbeelden:

• In een deelverzameling van een metrische ruimte kan men de afstand tussen twee punten definiëren als de afstand in de metrische ruimte. Daarmee wordt de deelverzameling zelf een metrische ruimte.
• Een deelverzameling van een vectorruimte is weliswaar in het algemeen zelf geen vectorruimte, maar hij spant wel een vectorruimte op, een deelruimte van de oorspronkelijke: het lineair omhulsel.

Een structuur kan ook een andere structuur op dezelfde verzameling induceren. Er is dan een altijd toepasbare methode om op basis van de ene structuur de andere te definiëren. Voorbeelden:

• Een metrische ruimte is altijd een topologische ruimte.
• Een genormeerde vectorruimte is altijd een metrische ruimte
• Een inwendig-productruimte is altijd een genormeerde vectorruimte, met als norm ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$.
• Een eindigdimensionale vectorruimte is voor elke basis isomorf met zijn coördinatenruimte. Zo kan men er op vele manieren een norm op definiëren. Onder meer kan dit voor ieder reëel getal ${\displaystyle p\geq 1}$ met

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}|^{p})^{1/p}}$

of met de limiet van ${\displaystyle \|.\|_{p}}$ voor ${\displaystyle p\to \infty }$, de supremumnorm:

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\|_{\infty }=\max(|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|)}$

Bij een inwendig-productruimte is de metriek die daarmee overeenkomt een van deze mogelijkheden (met ${\displaystyle p=2}$), en vaak de meest zinvolle.

• Elk lichaam (Ned) of veld (Be) is een vectorruimte over zichzelf.
• Elke vectorruimte is een gladde variëteit.
• Elke vectorruimte is een groep.

Soorten van wiskundige ruimten vormen zo vaak een hiërarchie, dat wil zeggen dat een soort van ruimten al zijn kenmerken kan erven van een oudersoort van ruimten.

Een standaardmethode om op basis van de ene structuur de andere te definiëren hoeft niet de enige zinvolle te zijn. Op een cirkel kan men bijvoorbeeld de metriek van het vlak invoeren (de rechtstreekse afstand, binnendoor), of de afstand langs de cirkel (en analoog op andere samenhangende deelverzamelingen van een metrische ruimte).

• Euclidische ruimte
• Fréchet-ruimte
• Hardy-ruimte
• Vectorruimte
• Banachruimte
• Hilbertruimte
• Inwendig-productruimte
• Metrische ruimte
• Sobolev-ruimte
• Topologische ruimte
• Uniforme ruimte