Norm (wiskunde)

Een norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ is een reële functie op een vectorruimte over een deellichaam van de complexe getallen, met de volgende eigenschappen[1]:

0. De norm is niet negatief.

${\displaystyle \|v\|\geq 0}$.

1. Alleen de nulvector heeft norm 0.

${\displaystyle \|v\|=0\iff v=0}$

2. De norm van het scalaire veelvoud van een vector is het product van de norm met de gewone absolute waarde van de scalair:

${\displaystyle \|\alpha v\|=|\alpha |\cdot \|v\|}$

Voor reële vectorruimten betekent dit dat de normfunctie positief homogeen is van de eerste graad.

3. De driehoeksongelijkheid. De norm van de som van twee vectoren is niet groter dan de som van de afzonderlijke normen.

${\displaystyle \|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|}$

Dit zijn niet de minimale eisen voor een norm. Uit voorwaarde 2 volgt dat ${\displaystyle \|\mathbf {0} \|=\|0\cdot \mathbf {0} \|=|0|\cdot \|\mathbf {0} \|=0}$, dus kan voorwaarde 1 scherper worden geformuleerd: ${\displaystyle \|v\|=0\implies v=0}$. Als bovendien aan voorwaarde 2 en 3 is voldaan, volgt reeds dat aan voorwaarde 0 is voldaan:

${\displaystyle 0=\textstyle {\frac {1}{2}}\|0\|=\textstyle {\frac {1}{2}}\|v-v\|\leq \textstyle {\frac {1}{2}}(\|v\|+|-1|\cdot \|v\|)=\|v\|}$

Een vectorruimte die met een dergelijke functie ${\displaystyle \|\cdot \|}$ is uitgerust, wordt een genormeerde vectorruimte genoemd.

Een genormeerde vectorruimte is ook een metrische ruimte, indien de afstand ${\displaystyle d(v,w)}$ tussen twee vectoren ${\displaystyle v}$ en ${\displaystyle w}$ wordt gedefinieerd als de norm van de verschilvector:

${\displaystyle d(v,w)=\|v-w\|}$

Als deze metrische ruimte volledig is, spreken we van een Banachruimte.[1]

De supremumnorm in het tweedimensionale reële vlak. De cirkel van alle vectoren met gegeven positieve norm vormt een vierkant.

• Op de vectorruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ of ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ is de volgende functie van ${\displaystyle {\vec {x}}}$ een norm, de euclidische norm, die gelijk is aan de lengte van ${\displaystyle {\vec {x}}}$:

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\ldots +|x_{n}|^{2}}}}$

• Algemener is er voor ieder reëel getal ${\displaystyle p\geq 1}$ de ${\displaystyle L^{p}}$-norm, waarbij de Manhattan-metriek met de ${\displaystyle L^{1}}$-norm correspondeert en de euclidische norm met de ${\displaystyle L^{2}}$-norm:

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\|_{p}=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}|^{p})^{1/p}}$

• In de limiet van ${\displaystyle \|.\|_{p}}$ voor ${\displaystyle p\to \infty }$ ontstaat de supremumnorm:

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\|_{\infty }=\max(|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|)}$

• Elk willekeurig inwendig product met scalairenlichaam ${\displaystyle \mathbb {R} }$ of ${\displaystyle \mathbb {C} }$ bepaalt een norm met de formule

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

De euclidische norm wordt dus geïnduceerd door het standaardinproduct op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}}$

of op ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}{\overline {y}}_{1}+\ldots +x_{n}{\overline {y}}_{n}}$

• Voor elke norm en elke inverteerbare lineaire transformatie kan men een nieuwe norm definiëren als de gegeven norm, toegepast na de transformatie.

• Voor complexe ${\displaystyle n\times n}$-matrices definieert men de volgende Frobenius norm:

${\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {tr} (A^{*}A)}}}$

met ${\displaystyle A^{*}}$ de complex geconjugeerde matrix van ${\displaystyle A}$.

Een functie die aan voorwaarden 0, 2 en 3 uit de definitie voldoet, maar niet noodzakelijk aan voorwaarde 1, noemt men een seminorm. Het procedé waarmee een genormeerde ruimte tot een metrische ruimte wordt, maakt van een semigenormeerde ruimte een pseudometrische ruimte. De vectoren waarvan de seminorm 0 bedraagt, vormen in dat geval een lineaire deelruimte, die gesloten is in de met de pseudometriek geassocieerde topologie.

Op de quotiëntruimte wordt dan een normfunctie gedefinieerd door met iedere nevenklasse de pseudonorm van eender welke vertegenwoordiger te associëren. De topologie van deze normfunctie is dezelfde als de quotiënttopologie voor de equivalentierelatie "heeft afstand 0 tot".

Als ${\displaystyle f}$ een lineaire afbeelding is tussen twee genormeerde ruimten ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle W}$ over hetzelfde scalairenlichaam, dan definieert men de norm van ${\displaystyle f}$ als de kleinste bovengrens van de vergrotingen die eenheidsvectoren ondergaan:

${\displaystyle \|f\|=\sup\{\|f(x)\|_{W};x\in V,\|x\|_{V}=1\}}$

Deze norm blijkt eindig te zijn als en slechts als ${\displaystyle f}$ continu is ten opzichte van de respectievelijke topologieën van ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle W.}$

De verzameling van alle continue lineaire afbeeldingen tussen ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}(V,W)=\{f:V\to W,f\,{\hbox{continu lineair}}\}}$

is opnieuw een genormeerde vectorruimte over hetzelfde lichaam.

Twee normen ${\displaystyle ||.||_{1}}$ en ${\displaystyle ||.||_{2}}$ op een vectorruimte ${\displaystyle V}$ zijn equivalent als er getallen ${\displaystyle M_{1},M_{2}\in \mathbb {R} }$ bestaan zodat voor alle ${\displaystyle x\in V}$ geldt:

${\displaystyle ||x||_{1}\leq M_{1}||x||_{2}}$ en ${\displaystyle ||x||_{2}\leq M_{2}||x||_{1}}$