Cartesisch product

Het cartesisch product van de twee verzamelingen ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ wordt genoteerd als ${\displaystyle A\times B}$ en is gedefinieerd door:

${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}}$.

Het cartesisch product is genoemd naar de Franse filosoof en wiskundige René Descartes. Hij ontdekte dat een punt in een vlak kon worden gezien als een getallenpaar. In moderne notatie maakte hij het vlak equivalent met ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$.

• Het cartesisch product van een willekeurige verzameling met de lege verzameling is de lege verzameling
• Als ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ eindige verzamelingen zijn, is het aantal elementen van ${\displaystyle A\times B}$ gelijk aan het product van het aantal elementen van ${\displaystyle A}$ en het aantal elementen van ${\displaystyle B}$: ${\displaystyle |A\times B|=|A|\cdot |B|}$.
• Als ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle B}$ oneindig is, en de andere verzameling is niet leeg, dan is ${\displaystyle A\times B}$ oneindig.
• Er geldt in het algemeen niet dat ${\displaystyle A\times B=B\times A}$. Tussen beide producten bestaat wel een canonieke bijectie, nl. de omkering van elk koppel.

Het product ${\displaystyle A\times B}$ is weer een verzameling, en daarmee kan dus het product met een derde verzameling ${\displaystyle C}$ gevormd worden:

${\displaystyle (A\times B)\times C=\{((a,b),c)\mid (a,b)\in A\times B,c\in C\}}$

Anderzijds bestaat ook het product van ${\displaystyle A}$ met de productverzameling ${\displaystyle B\times C}$:

${\displaystyle A\times (B\times C)=\{(a,(b,c))\mid a\in A,(b,c)\in B\times C\}}$

Formeel zijn deze twee verzamelingen verschillend, maar ze staan wel op canonieke wijze in bijectief verband:

${\displaystyle f:(A\times B)\times C\to A\times (B\times C):((a,b),c)\mapsto (a,(b,c))}$

In de meeste wiskundige theorieën die gebruikmaken van producten, is het formele onderscheid tussen deze twee verzamelingen van weinig belang. Men laat dan een stel haakjes vallen en noteert

${\displaystyle A\times B\times C=\{(a,b,c)\mid a\in A,b\in B,c\in C\}}$

De elementen van ${\displaystyle A\times B\times C}$ heten geordende drietallen of tripels. Op analoge wijze definieert men het product van vier verzamelingen met als elementen quadrupels, het product van vijf verzamelingen dat bestaat uit quintupels, enz.

Door inductie bestaat het cartesisch product van ${\displaystyle n}$ verzamelingen uit alle geordende ${\displaystyle n}$-tupels (of kortweg tupels) waarvan de ${\displaystyle i}$-de component tot de ${\displaystyle i}$-de verzameling behoort:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\times \ldots \times A_{n}=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\mid a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}\}}$.

Het cartesisch product van één verzameling is bij afspraak die verzameling zelf, dus een 1-tupel wordt geïdentificeerd met de enige component waaruit het bestaat. Het cartesisch product van nul verzamelingen is het singleton bestaande uit het 0-tupel ${\displaystyle ()}$ (dit product is dus niet de lege verzameling!).

Is een cartesisch product gevormd met steeds dezelfde verzameling, dan wordt het geschreven met een exponentiële notatie:

${\displaystyle A\times A\times A=A^{3},\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}}$ enz.

Een ${\displaystyle n}$-tupel kan worden opgevat als een afbeelding van de getallenverzameling ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ naar de vereniging van de betrokken verzamelingen:

${\displaystyle f:\{1,2,\ldots ,n\}\to \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$,

met als eigenschap dat:

${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$.

De functie ${\displaystyle f}$ wordt dan geïdentificeerd met het ${\displaystyle n}$-tupel

${\displaystyle (f(1),f(2),\ldots ,f(n))}$

Het herhaald cartesisch product van de ${\displaystyle n}$ verzamelingen ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ is dan de verzameling van die functies.

Met dit formalisme kan het cartesisch product veralgemeend worden tot het geval van een eventueel oneindige familie van verzamelingen.

Zij ${\displaystyle \{A_{i}\mid i\in I\}}$ een familie verzamelingen, geïndexeerd door een verzameling ${\displaystyle I}$, die niet noodzakelijk een getallenverzameling hoeft te zijn. Ze kan leeg zijn, of eindig en niet leeg, of oneindig en zelfs overaftelbaar.

Het cartesisch product van de familie is de verzameling van alle afbeeldingen van de indexverzameling naar de vereniging van de familie die elke index binnen het overeenkomstige lid van de familie afbeelden:

${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}A_{i}\mid \forall i\in I,f(i)\in A_{i}\}}$

Een bijzonder geval krijgen we, wanneer ${\displaystyle A_{i}=A}$ voor alle ${\displaystyle i\in I}$. Dan is de productverzameling de verzameling van alle afbeeldingen van ${\displaystyle I}$ naar ${\displaystyle A}$. Deze krijgt de intuïtief duidelijke notatie ${\displaystyle A^{I}}$.

Met het cartesisch product ${\displaystyle A\times B}$ van 2 verzamelingen associëren we twee projecties

${\displaystyle \pi _{A}:A\times B\to A:(a,b)\mapsto a}$

${\displaystyle \pi _{B}:A\times B\to B:(a,b)\mapsto b}$

Met een algemeen (herhaald of oneindig) cartesisch product wordt een stel afbeeldingen geassocieerd die elk tupel op een vaste component van dat tupel afbeelden. De ${\displaystyle i}$-de projectie is

${\displaystyle \pi _{i}:(\prod _{j\in I}A_{j})\to A_{i}:f\mapsto f(i)}$

In de cartesiaanse meetkunde op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ komen deze projecties overeen met de twee meetkundige projecties ${\displaystyle \pi _{X}^{Y}}$ en ${\displaystyle \pi _{Y}^{X}}$ parallel met de coördinaat-assen.

Bij relationele databanken wordt met het commando "join" van twee tabellen het cartesisch product gemaakt.