Topologische ruimte

Een topologische ruimte is een verzameling ${\displaystyle X}$ samen met een collectie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ van deelverzamelingen van ${\displaystyle X}$, open verzamelingen genoemd, die aan de volgende axioma's voldoen:

1. ${\displaystyle \varnothing }$ (de lege verzameling) en ${\displaystyle X}$ zijn open.
2. De vereniging van willekeurig veel open verzamelingen is open.
3. De doorsnede van twee open verzamelingen is open.

Een dergelijke collectie open verzamelingen wordt een topologie op ${\displaystyle X}$ genoemd. Het koppel ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ wordt dan een topologische ruimte genoemd. Een gesloten verzameling is een verzameling waarvan het complement open is.

Zie Continue functie (topologie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ en ${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})}$ topologische ruimten zijn, dan heet een afbeelding ${\displaystyle f:X\to Y}$ continu als het inverse beeld van iedere open verzameling van ${\displaystyle Y}$ opnieuw een open verzameling van ${\displaystyle X}$ is:

${\displaystyle \forall U\in {\mathcal {U}}:f^{-1}(U)\in {\mathcal {T}}}$

De categorie Top heeft als objecten de topologische ruimten en als morfismen de continue afbeeldingen.

Als equivalentie in deze categorie geldt het bestaan van een homeomorfisme, dat wil zeggen een tweezijdig omkeerbare afbeelding (bijectie) die in beide richtingen continu is. Twee topologische ruimten heten homeomorf als tussen beiden een homeomorfisme bestaat. Dergelijke ruimten kunnen topologisch niet van elkaar worden onderscheiden.

Voorbeelden van topologische ruimten zijn:

• Een metrische ruimte ${\displaystyle X}$ met de door de metriek geïnduceerde topologie. De open verzamelingen zijn de deelverzamelingen ${\displaystyle S}$ van ${\displaystyle X}$ waarvan elk punt een inwendig punt is. Voor willekeurige topologische ruimten geldt overigens dat een verzameling open is dan en slechts dan als elk punt ervan een inwendig punt van die verzameling is).
• Ook een pseudometrische ruimte heeft een topologie die door de pseudometriek wordt geïnduceerd, op dezelfde manier als bij een metriek.
• Voor een willekeurige verzameling ${\displaystyle X}$ is de triviale topologie de topologie die als open verzamelingen alleen de lege verzameling ${\displaystyle \varnothing }$ en ${\displaystyle X}$ zelf heeft.
• Voor een willekeurige verzameling ${\displaystyle X}$ is de discrete topologie de collectie ${\displaystyle 2^{X}}$, dus waarin elke deelverzameling van ${\displaystyle X}$ open is.
• Een verzameling ${\displaystyle X}$ met als open verzamelingen de lege verzameling en alle verzamelingen waarvan het complement eindig is. Dit heet de cofiniete topologie. Is ${\displaystyle X}$ zelf een eindige verzameling, dan is de cofiniete topologie dezelfde als de discrete topologie.
• Zij ${\displaystyle R}$ een commutatieve ring en ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ het spectrum van ${\displaystyle R}$ (dit is de verzameling priemidealen van ${\displaystyle R}$). ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ is dan een topologische ruimte met als gesloten verzamelingen de verzamelingen van de vorm ${\displaystyle \{P\in \mathrm {Spec} (R)\mid P\supset I\}}$, waarin ${\displaystyle I}$ een ideaal van ${\displaystyle R}$ is. Deze topologische ruimte is compact, en de zojuist gedefinieerde topologie heet de Zariski-topologie.

De topologische structuur van ${\displaystyle X}$ kan ook worden vastgelegd door een van de volgende elementen te specificeren:

1. de gesloten verzamelingen van ${\displaystyle X,}$ d.w.z. de complementen van de open verzamelingen
2. de afsluiting van elk deel ${\displaystyle D}$ van ${\displaystyle X,}$ d.w.z. de kleinste gesloten verzameling die ${\displaystyle D}$ omvat, of ook nog de doorsnede van alle gesloten verzamelingen die ${\displaystyle X}$ omvatten
3. het inwendige van elk deel ${\displaystyle D}$ van ${\displaystyle X,}$ d.w.z. de grootste open verzameling die in ${\displaystyle D}$ vervat ligt, of ook nog de unie van alle open verzamelingen van ${\displaystyle X}$ die een deel zijn van ${\displaystyle D}$

Een basis voor een topologische ruimte ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ is een collectie open verzamelingen ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {T}}}$ met de eigenschap dat iedere andere open verzameling van ${\displaystyle X}$ geschreven kan worden als een (eventueel oneindige) vereniging van elementen van de basis. Topologische ruimten zijn eenvoudiger te bestuderen als ze beschikken over een basis met een beperkt aantal elementen (bijvoorbeeld aftelbaar), zelfs als de collectie van alle open verzamelingen veel groter is.

In de metrische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (met de gewone Euclidische afstandsfunctie) vormen de open bollen

${\displaystyle B(a,r)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(a,x)<R\}\ a\in \mathbb {R} ,r>0}$

een basis.

Een subbasis is een collectie open verzamelingen ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {T}}}$ met de eigenschap dat de collectie van eindige doorsneden

${\displaystyle \{U_{1}\cap U_{2}\cap \ldots \cap U_{n}|U_{1},U_{2},\ldots ,U_{n}\in {\mathcal {S}},\ n\in \mathbb {N} \}}$

een basis vormt voor ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}).}$ Dit is gelijkwaardig met de uitspraak dat ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ de kleinste topologie op ${\displaystyle X}$ is die de familie ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ omvat, of nog dat ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ de doorsnede is van alle topologieën op ${\displaystyle X}$ die ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ omvatten. Men zegt dat ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ wordt voortgebracht door ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

De open halve rechten met rationale eindpunten

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{]q,+\infty ]:q\in \mathbb {Q} \}\cup \{[-\infty ,q[:q\in \mathbb {Q} \}}$

vormen een subbasis (maar geen basis) voor de gewone topologie op de reële getallen.