Isometrie (wiskunde)

Zij ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ en ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ twee gegeven metrische ruimten en ${\displaystyle f:M_{1}\rightarrow M_{2}}$ een afbeelding met de eigenschap:

${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y)}$,

dan noemt men ${\displaystyle f}$ een isometrie van ${\displaystyle M_{1}}$ naar ${\displaystyle M_{2}}$

Een isometrie is altijd injectief. Als ${\displaystyle f}$ bijectief is, noemt men ${\displaystyle f}$ een isometrisch isomorfisme en noemt men de metrische ruimten ${\displaystyle M_{1}}$ en ${\displaystyle M_{2}}$ isometrisch isomorf.

In andere gevallen noemt men ${\displaystyle f}$ een isometrische inbedding van ${\displaystyle M_{1}}$ in ${\displaystyle M_{2}}$.

Een euclidische isometrie is een isometrie in de n-dimensionale euclidische ruimte. Ze zijn van de vorm Ax + b met A een orthogonale matrix en vormen de euclidische groep E(n).

Een directe isometrie is een euclidische isometrie die de oriëntatie niet verandert, ze vormen de speciale euclidische groep SE(n). Bij een directe isometrie is de determinant van A gelijk aan 1, bij een indirecte -1. Bij een directe isometrie is een geleidelijke overgang via tussenliggende isometrieën mogelijk van de identiteit naar die isometrie.

Indirect zijn:

• in 1D: spiegeling in een punt
• in 2D: spiegeling in een lijn, inclusief glijspiegeling
• in 3D: spiegeling in een vlak, inclusief glijspiegeling en draaispiegeling

• Isometriegroep

• S. Bosch, Lineare Algebra, Springer-Verlag, ISBN 3-540-00121-2