Lorentz-variëteit

In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een lorentz-variëteit een belangrijk speciaal geval van een pseudo-riemann-variëteit, waarbij de signatuur van de metrische tensor (voor n dimensies) (1, n-1) is - ook wel genoteerd als bijvoorbeeld (+, -, -, -) voor n = 4. Ook de omgekeerde notatie komt voor, dus bijvoorbeeld (3, 1) of (-, +, +, +).

Bij zo'n metrische tensor wordt wel gesproken van een lorentz-metriek (niet te verwarren met het striktere begrip metriek). Zij zijn vernoemd naar de Nederlandse natuurkundige Hendrik Antoon Lorentz.

Na riemann-variëteiten vormen Lorentz-variëteiten de belangrijkste deelklasse van pseudo-Riemann-variëteiten. Ze zijn belangrijk vanwege hun natuurkundige toepassingen in de algemene relativiteitstheorie.

Een van de belangrijkste veronderstellingen van de algemene relativiteitstheorie is dat de ruimtetijd kan worden beschreven als een vierdimensionale lorentz-variëteit met teken (3, 1) (of, gelijkwaardig, (1, 3)).

In tegenstelling tot riemann-variëteiten, die een positief-definiete metriek hebben, kan men bij een signatuur van (1, p) of (q, 1) de raakvectoren classificeren als tijd-achtig, nul (licht-achtig) of ruimte-achtig. Met g de lorentzmetriek met signatuur (-, +, +, +, ...), is dit voor vectoren X gedefinieerd als:

tijdachtig als g(X, X) < 0

lichtachtig als g(X, X) = 0

ruimteachtig als g(X, X) > 0

De namen zijn ontleend aan de eenvoudigere ('vlakke') minkowski-ruimte. Daar kan men de termen eenvoudig natuurkundig interpreteren: de eindigheid van de lichtsnelheid betekent dat punten in de ruimtetijd (gebeurtenissen) die door een ruimte-achtige vector worden verbonden, geen causaal verband kunnen hebben; terwijl de punten die door een tijd-achtige vector worden verbonden wel een causaal verband kunnen hebben. Licht-achtig of "nul" (Engels: null) is het grensgeval.