Hoek (meetkunde)

Een hoek is een dimensieloze grootheid, waarvan de grootte traditioneel wordt uitgedrukt in (boog)graden (°). Een hoek ter grootte van een gehele cirkel telt voor 360°. Twee halfrechten in elkaars verlengde vormen een hoek van een halve cirkel, dus van 180°. Staan de halfrechten loodrecht op elkaar, dan is de (kleinere) hoek tussen beide 90°. Een graad is onderverdeeld in 60 (boog)minuten (') en een minuut weer in 60 (boog)seconden ("). Een hoek van 34 graden, 25 minuten en 16 seconden wordt genoteerd als: 34°25'16". In het SI-stelsel wordt een hoek gemeten in radialen. Bij het meten van hoeken in radialen zal vaak het getal π (pi) een rol spelen. Zo is een cirkel gelijk aan 2π radialen.

In de landmeetkunde gebruikt men als eenheid de gon. Hierbij is de hoek van een volledige cirkel 400 gon.

Overstaande hoeken zijn gelijk

Wanneer twee lijnen in een vlak elkaar snijden, worden door deze lijnen 4 hoeken gevormd. De overstaande hoeken zijn daarbij in grootte aan elkaar gelijk. Twee aangrenzende hoeken zijn samen 180°. Zoals blijkt uit bijgaande figuur kan de hoek tussen twee lijnen op twee manieren worden gemeten. Meestal, maar niet noodzakelijk, wordt onder "de hoek" de kleinste hoek verstaan, in dit geval hoek α.

Wanneer twee vlakken elkaar snijden en dus een lijn gemeen hebben, wordt de mate waarin het ene vlak moet roteren om die lijn, om samen te vallen met het andere, de hoek tussen deze vlakken genoemd.

Hoeken werden reeds bij de Babyloniërs (4000 tot 300 v.Chr.) bestudeerd in de astronomie en de bouwkunde. De Babyloniërs gebruikten een talstelsel gebaseerd op het getal "60". Toenmalige wiskundigen verdeelden de (3 gelijke) hoeken van een gelijkzijdige driehoek in 60 eenheden, nu graden geheten. De graad werd verder opgesplitst in 60 minuten (ook wel boogminuten genoemd ter onderscheid van de minuut in tijd), en de minuut in 60 seconden (ook wel boogseconden genoemd).

De Oude Grieken konden aan de hand van een hoek de omtrek van de Aarde bepalen, en de afstand tot de Maan. Pythagoras toonde aan dat de som van de hoeken in een driehoek 180° is.

De SI-eenheid waarin een hoek wordt gemeten is de radiaal (rad).

• Een rechte hoek is gelijk aan ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$ rad.
• Een cirkel omvat ${\displaystyle 2\pi }$ rad.

In het dagelijks leven is de meeteenheid graad (°) gebruikelijker.

• Een rechte hoek is 90°.
• Een cirkel omvat 360°.

In de geodesie wordt de gon gebruikt.

• Een rechte hoek meet 100 gon.
• Een cirkel omvat 400 gon.

De hoek van een helling wordt (op verkeersborden) vaak aangegeven in procenten. Die is doorgaans gelijk aan de tangens van de hellingshoek, soms de sinus, uitgedrukt in procenten. Voor kleine hoeken zijn zowel de tangens als de sinus met goede benadering gelijk aan de hoek zelf, uitgedrukt in radialen.

In het leger wordt de volledige cirkel opgedeeld in 6300 of 6400 eenheden, mil genaamd. Deze van de radiaal afgeleide eenheid is eenvoudig te gebruiken bij het inschieten van artillerie, als een schot een doel op 1000 meter met 5 meter mist kan het stuk 5 mil gedraaid worden.

• Een hoek is positief indien deze tegen de wijzers van de klok in wordt gelezen. Een hoek is negatief indien deze met de wijzers van de klok mee wordt afgelezen.

In volgende figuur is ${\displaystyle \angle {CAB}=-\angle {BAC}}$, enkel de rotatiezin verschilt. Hoek ${\displaystyle \angle {BAC}}$ is dus positief, hoek ${\displaystyle \angle {CAB}}$ is negatief. Men spreekt van gerichte hoeken

• De hoek tussen twee lijnen wordt gegeven als gerichte hoek, en is dan goed gedefinieerd modulo π.
• Een hoek van 90° of ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ (m.a.w.: ¹⁄₄ van een cirkel, 100 gon) wordt recht genoemd, een hoek die kleiner is, is een scherpe hoek, een hoek die groter is, is stomp. Een rechte hoek wordt ook wel haaks genoemd. Een hoek van 180° of ${\displaystyle \pi }$ wordt ook wel een gestrekte hoek genoemd.

• complementaire en supplementaire hoeken

${\displaystyle \alpha }$ en ${\displaystyle \beta }$ zijn supplementaire hoeken (de ene is het supplement van de andere) als de som van de twee hoeken een gestrekte hoek is, wiskundig: ${\displaystyle \alpha +\beta =\pi }$ (180°);

${\displaystyle \alpha }$ en ${\displaystyle \beta }$ zijn complementaire hoeken (de ene is het complement van de andere) als de som van de twee hoeken een rechte hoek is, wiskundig: ${\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {\pi }{2}}}$ (90°)

Supplementaire hoeken	Complementaire hoeken

• 1/60 van een graad (°) is een boogminuut (1'), 1/60 van een boogminuut is een boogseconde (1")
• Hoeken blijven gelijk wanneer er een geheel keer 2π (hoek in radialen) of 360° (graden) wordt opgeteld; de hoofdwaarde van een hoek is de grootte van de hoek θ, zodat ${\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }$ (wanneer θ in radialen is) of zodat ${\displaystyle 0\leq \theta <360^{\circ }}$ (in graden)

In de niet-Euclidische elliptische meetkunde van Bernhard Riemann die onder meer wordt toegepast in de algemene relativiteitstheorie wordt de metrische tensor gebruikt om de hoek tussen twee raaklijnen te bepalen. Met U en V raakvectoren en g_ij de komponenten van de metrische tensor G krijgen we voor de onderlinge hoek

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}$

Een greep uit de talloze toepassingen:

Definitie van de parsec

• in de wiskunde (meetkunde):
  • coördinatenstelsels zoals poolcoördinaten en bolcoördinaten
  • hoeken van Euler
• in de geodesie (aardrijkskunde):
  • azimut
  • lengte-en breedtegraad
• in de sterrenkunde
  • de definitie van de parsec: De parsec is de afstand die men vanaf de Aarde de ruimte moet ingaan, opdat men van die afstand de gemiddelde afstand Aarde -zon onder een hoek van één boogseconde ziet (zie figuur).
  • de afbuiging van licht bij een zware massa: zie zwaartekrachtlens

Rol (roll), gier (yaw) en stamp (pitch)-hoeken

• in de optica (natuurkunde)
  • invalshoek: hoek tussen de invallende stralen en de normaal op het scheidingsvlak tussen twee middenstoffen
  • parallax
  • hoek van diffractie bij een (reflectie)tralie.
• in de aerodynamica: de invalshoek is de hoek waarlangs het fluïdum het vleugelprofiel treft
• bij de scheepsbewegingen van schepen en vliegtuigen: rol-, gier- en stamphoeken

Het woord hoek wordt veel gebruikt in de Nederlandse taal:

• Hij komt grappig uit de hoek.
• Het hoekje om gaan (een eufemisme voor sterven).
• In de hoek staan (voor straf in de klas in de hoek gezet worden).
• Het gezin is de hoeksteen van de samenleving (metafoor waarin de samenleving voorgesteld wordt als een boog en het gezin als de 'sluitsteen' die het geheel stabiel maakt).
• De wind waait uit een andere hoek (uit de scheepvaart; figuurlijk betekent dit dat veel zal gaan veranderen).
• Het Duitse woord voor hoek is Winkel. Dit komt in het Nederlands terug in het woord winkelhaak. Het Nederlandse woord winkel is afgeleid van de hoeken van (kerk-)gebouwen waarin vaak verkoopkramen stonden.

• Bissectrice
• Driedeling van de hoek
• Goniometrie en driehoeksmeetkunde
• Ruimtehoek

Zie de categorie Angles (geometry) van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.