Standaardinproduct

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is het standaardinproduct of canonieke inproduct het inwendig product dat normaal gebruikt wordt in de eindigdimensionale reële en complexe euclidische ruimten $\mathbb {R} ^{n}$ respectievelijk $\mathbb {C} ^{n}$ . Met behulp van het standaardinproduct kunnen de gebruikelijke begrippen van lengte en hoek gedefinieerd worden.

Definitie

Reëel standaardinproduct

Het standaardinproduct van twee vectoren $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ is gedefinieerd als

\langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}

.

Vat men $x$ en $y$ op als kolomvectoren:

x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{\top },y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})^{\top }

,

dan kan het standaardinproduct geschreven worden als matrixproduct:

\langle x,y\rangle =x^{\top }y=y^{\top }x

.

Complex standaardinproduct

Van het complexe standaardinproduct van twee vectoren $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ bestaan twee versies.

\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+{\bar {x}}_{2}y_{2}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}y_{i}

en

\langle x,y\rangle '=x_{1}{\bar {y}}_{1}+x_{2}{\bar {y}}_{2}+\dotsb +x_{n}{\bar {y}}_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i}

.

De beide versies verschillen slechts daarin dat ze elkaars complex geconjugeerde zijn:

\langle x,y\rangle '={\overline {\langle x,y\rangle }}

.

Vat men $x$ en $y$ op als kolomvectoren:

x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{\top },y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})^{\top }

,

dan kan het complexe standaardinproduct geschreven worden als matrixproduct:

\langle x,y\rangle =x^{\top }{\bar {y}}={\bar {y}}^{\top }x

.

Eigenschappen

Het reële standaardinproduct heeft de eigenschap dat voor iedere reële vierkante matrix $A$ van orde gelijk aan de dimensie van de vectorruimte, geldt:

\langle Ax,y\rangle =(Ax)^{\top }y=x^{\top }A^{\top }y=\langle x,A^{\top }y\rangle

.

Voor het complexe standaardinproduct geldt een soortgelijke de eigenschap, namelijk dat voor iedere complexe vierkante matrix $A$ van orde gelijk aan de dimensie van de vectorruimte, geldt:

\langle Ax,y\rangle =(Ax)^{\top }{\bar {y}}=x^{\top }A^{\top }{\bar {y}}=x^{\top }{\overline {{\bar {A}}^{\top }y}}=\langle x,{\bar {A}}^{\top }y\rangle

.

Afgeleide begrippen

Norm

De norm van een reële of complexe vector $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ die is afgeleid van het standaardinproduct, wordt euclidische norm genoemd, en heeft de vorm:

\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\ldots +|x_{n}|^{2}}}

.

Afstand

Van de euclidische norm wordt de euclidische afstand $\|x-y\|$ tussen twee reële of complexe vectoren $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ en $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ afgeleid:

\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}={\sqrt {|x_{1}-y_{1}|^{2}+\ldots +|x_{n}-y_{n}|^{2}}}

.

Hoek

De hoek $\theta =\angle (x,y)$ tussen twee reële vectoren $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\neq 0$ en $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\neq 0$ wordt afgeleid van het reële standaardinproduct, via:

\cos(\theta )={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\|y\|}}

Orthogonaliteit

Twee reële of complexe vectoren $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\neq 0$ en $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\neq 0$ zijn orthogonaal, als hun inproduct gelijk is aan 0, dus als:

\langle x,y\rangle =0

.

In het geval van reële vectoren betekent orthogonaliteit, dat $\angle (x,y)=90^{\circ }$ .

Eindigdimensionale vectorruimten

Voor een willekeurige n-dimensionale vectorruimte $V$ over de reële getallen met een inproduct $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ kan het standaardinproduct gebruikt worden voor de berekening van het inproduct van twee vectoren $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ en $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ . Als lineaire combinatie van een orthonormale basis $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ van $V$ zijn deze vectoren:

x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}

en

y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}

Het inproduct van $x$ en $y$ is:

\langle x,y\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}y_{j}\langle e_{i},e_{j}\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}

.

Dit kan dus berekend worden als het standaardinproduct van de vectoren van de coördinaten van $x$ en $y$ ten opzichte van de genoemde basis.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.