Poolcoördinaten

Overgang van pool- naar cartesische coördinaten

Het verband tussen de cartesische coördinaten ${\displaystyle (x,y)}$ en de poolcoördinaten ${\displaystyle (r,\theta )}$ wordt gegeven door:

${\displaystyle x=r\,\cos(\theta )}$

${\displaystyle y=r\,\sin(\theta )}$

Omgekeerd geldt:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$

Hierin is gebruikgemaakt van de uitgebreidere definitie van de arctangens:

${\displaystyle \arctan(y,x)=-i\log \left({\frac {x+iy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}$

Met behulp van de gewone arctangens kan men de hoek ${\displaystyle \theta }$ als volgt in het interval ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ bepalen:

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{voor}}\ x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{voor}}\ x<0,\ y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{voor}}\ x<0,\ y<0\\+{\frac {1}{2}}\pi &{\mbox{voor}}\ x=0,\ y>0\\-{\frac {1}{2}}\pi &{\mbox{voor}}\ x=0,\ y<0\\\end{cases}}}$

Voorbeeld

Nemen we als voorbeeld in de tweedimensionale ruimte het punt met gewone coördinaten:

${\displaystyle x=3,y=2.}$

Het punt met cartesische coördinaten (3,2)

Poolcoördinaten van het punt met cartesische coördinaten (3,2)

Dit punt heeft als poolcoördinaten:

${\displaystyle r={\sqrt {3^{2}+2^{2}}}={\sqrt {13}}}$ en ${\displaystyle \theta =\arctan \left({\tfrac {2}{3}}\right)}$.

De jacobi-matrix van de bovengenoemde overgang van cartesische naar poolcoördinaten wordt bepaald door:

${\displaystyle {\rm {d}}x={\rm {d}}r\cdot \cos \theta -r\sin \theta {\rm {d}}\theta }$

${\displaystyle {\rm {d}}y={\rm {d}}r\cdot \sin \theta +r\cos \theta {\rm {d}}\theta }$

In matrixnotatie wordt dit:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\rm {d}}x\\{\rm {d}}y\end{bmatrix}}=\ {\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\rm {d}}r\\{\rm {d}}\theta \\\end{bmatrix}}}$.

Voor de booglengte geldt

${\displaystyle ({\rm {d}}s)^{2}=({\rm {d}}r)^{2}+r^{2}({\rm {d}}\theta )^{2}}$

Als men een integraal in het ${\displaystyle xy}$-vlak moet omzetten naar poolcoördinaten ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle \theta }$, wordt het verband tussen de oppervlakte-elementjes ${\displaystyle {\rm {d}}x{\rm {d}}y}$ en ${\displaystyle {\rm {d}}r{\rm {d}}\theta }$ gegeven door

${\displaystyle {\rm {d}}x{\rm {d}}y=r{\rm {d}}r{\rm {d}}\theta =\left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}\right|{\rm {d}}r{\rm {d}}\theta }$

De determinant in deze betrekking is de jacobiaan van de coördinatentransformatie:

${\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}\right|=\left|{\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\,\sin \theta \\\sin \theta &r\,\cos \theta \end{bmatrix}}\right|=r}$

Het is gebruikelijk een vectorveld

${\displaystyle F(x,y)=(F_{x}(x,y),F_{y}(x,y))\,}$

in poolcoördinaten te ontbinden in een component ${\displaystyle F_{r}}$ langs de poolstraal en een component ${\displaystyle F_{\theta }}$ loodrecht daarop in de richting van de hoek θ. Voor deze componenten geldt:

${\displaystyle F_{r}=\ F_{x}\cos(\theta )+F_{y}\sin(\theta )\,}$

${\displaystyle F_{\theta }=-F_{x}\sin(\theta )+F_{y}\cos(\theta )\,}$

Omgekeerd:

${\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos(\theta )-F_{\theta }\sin(\theta )\,}$

${\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin(\theta )+F_{\theta }\cos(\theta )\,}$

Een voorbeeld van een complex getal op het complexe vlak

Poolcoördinaten kunnen ook worden gebruikt om complexe getallen weer te geven in het complexe vlak. Het complexe getal ${\displaystyle z}$ kan carthesisch worden weergeven als: ${\displaystyle z=x+iy}$ waarin ${\displaystyle x}$ het reële deel is en ${\displaystyle y}$ het imaginaire deel.

Met poolcoördinaten kan ${\displaystyle z}$ geschreven worden als ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ waarin ${\displaystyle r}$ de modulus van ${\displaystyle z}$ is en ${\displaystyle \theta }$ het argument (in radialen) is.

Voor ${\displaystyle r=1}$ en ${\displaystyle \theta =\pi }$ is ${\displaystyle x=-1}$ en ${\displaystyle y=0}$, en ontstaat de Identiteit van Euler:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

richting van de raaklijn in P

Een poolvergelijking is de uitdrukking van een wiskundig verband tussen de variabelen ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle \theta .}$ Dit verband wordt meestal uitgedrukt in de vorm ${\displaystyle r=f(\theta )}$ of impliciet als ${\displaystyle F(r,\theta )=0.}$ Daarin wordt de hoek ${\displaystyle \theta }$ altijd uitgedrukt in radialen. Bij een gekozen stelsel poolcoördinaten vormen de oplossingen van een dergelijke vergelijking de grafiek van de poolvergelijking. Eenzelfde grafiek kan bij verschillende poolvergelijkingen horen.

In een poolvergelijking van de vorm ${\displaystyle r=f(\theta )}$ mag de hoek ${\displaystyle \theta }$ in principe alle reële getallen doorlopen.

Onder de richting van een kromme K in een punt ${\displaystyle \mathrm {P} =(r_{P},\theta _{P})}$ verschillend van de pool wordt de richting van de raaklijn in P aan K verstaan, georiënteerd in de zin van toenemende waarden van ${\displaystyle \theta .}$ 'De richting kan bepaald worden uit de hoek ${\displaystyle \alpha }$ tussen de raaklijn in P en de voerstraal OP (zie figuur). Voor deze hoek geldt:

${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\theta }}\ln(r)={\frac {1}{r}}{\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}\theta }}}$

Voor bijvoorbeeld de logaritmische spiraal is ${\displaystyle \alpha }$ constant.

${\displaystyle (r,\theta )}$ en ${\displaystyle (r',\theta ')=(-r,\theta +\pi )}$ zijn twee paren poolcoördinaten van het punt P

In sommige gevallen kan het nuttig dat de voerstraal ${\displaystyle r}$ ook negatieve waarden kan aannemen. Om dit mogelijk te maken kan men uitgaan van een licht gewijzigde definitie van het poolcoördinatenstelsel.

Het referentiekader bestaat dan uit een vast punt O, de pool en een as door dit punt, de poolas. Om de poolcoördinaten van een punt P vast te leggen kiest men een as ${\displaystyle u}$ door OP. De abscis ${\displaystyle r}$ van het punt P op die as (met oorsprong O) is de eerste coördinaat ${\displaystyle r}$ van P. Deze waarde kan negatief zijn. Als tweede coördinaat kiest men een van de mogelijke waarden van de geöriënteerde hoek ${\displaystyle \theta }$ tussen de as ${\displaystyle u}$ en de poolas. Ook hier kan het punt P meerdere paren poolcoördinaten hebben.

Als ${\displaystyle r}$ een differentieerbare functie van ${\displaystyle \theta }$ is die door nul gaat voor ${\displaystyle \theta =\theta _{0},}$ raakt de door ${\displaystyle r}$ beschreven kromme daar aan de lijn ${\displaystyle \theta =\theta _{0},}$ Bij toelaten van een negatieve ${\displaystyle r}$ gaat voor die ${\displaystyle \theta =\theta _{0}}$ de kromme door O, anders eindigt de kromme bij O. Als de functie weer door nul gaat bij ${\displaystyle \theta =\theta _{1},}$ met ${\displaystyle r<0}$ voor ${\displaystyle \theta _{0}<\theta <\theta _{1},}$ dan is de kromme bij toelaten van een negatieve ${\displaystyle r}$ een gladde zichzelf in O snijdende kromme. Wordt een negatieve ${\displaystyle r}$ niet toegelaten, dan vervalt het deel ${\displaystyle \theta _{0}<\theta <\theta _{1},}$ en heeft de kromme in O een knik.

In natuurkundige formules betekent ${\displaystyle r}$ vaak de norm (grootte) van de plaatsvector ${\displaystyle {\vec {r}}.}$ Dat is dan een niet-negatieve grootheid, die dus onderscheiden moet worden van de ${\displaystyle r}$ zoals hier gebruikt, die negatief kan zijn. Een grootheid kan alleen in termen van zo'n laatstgenoemde ${\displaystyle r}$ (en ${\displaystyle \theta }$) worden uitgedrukt als de uitdrukking correct blijft bij negatieve ${\displaystyle r.}$ Zo is de grootte van de middelpuntzoekende versnelling dan niet ${\displaystyle r\omega ^{2}}$, maar ${\displaystyle |r|\omega ^{2}}$; anders gezegd: de versnelling is dan in de richting van afnemende ${\displaystyle |r|}$ en niet noodzakelijk in de richting van afnemende ${\displaystyle r.}$ Rekening moeten houden met een negatieve ${\displaystyle r}$ wordt zo al gauw onnodig ingewikkeld.

Poolcoördinaten zijn ook geschikt voor gebruik in meer dan twee dimensies. Er zijn verschillende generalisaties mogelijk. In het algemeen geldt dat een punt in de ${\displaystyle n}$-dimensionale ruimte geïdentificeerd wordt door ${\displaystyle (r,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n-1})}$, een voerstraal en ${\displaystyle n-1}$ welgedefinieerde hoeken.

• Poolcoördinaten Gearchiveerd op 9 september 2013.
• http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html
• http://www.seriesmathstudy.com/polargraph.htm

• Gegeneraliseerde coördinaten
• Coördinatentransformatie
• kromlijnige coördinaat
• Bolcoördinaten
• Cilindercoördinaten
• Poolcoördinaten in het Wikibook "Klassieke Mechanica"
• Spiraal (wiskunde)