Stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras geeft een verband tussen de lengten van de zijden van een rechthoekige driehoek. In woorden luidt de stelling:

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde.

Noemt men de lengten van rechthoekszijden (de zijden die aan de hoek van 90° liggen) ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$, en de lengte van de schuine zijde (de zijde die niet aan de rechte hoek grenst, ook wel "hypotenusa" genoemd) ${\displaystyle c}$, dan is de bekende wiskundige vorm van de stelling:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

(Dit is Propositie I.47 uit de Elementen van Euclides)

De stelling van Pythagoras is equivalent met het parallellenpostulaat. Daarom geldt de stelling van Pythagoras niet in niet-euclidische meetkunde.[1]

Een rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden met lengten ${\displaystyle a=3}$ en ${\displaystyle b=4}$. Volgens de stelling van Pythagoras geldt dan voor de lengte ${\displaystyle c}$ van de schuine zijde:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25}$

Omdat de lengte ${\displaystyle c}$ niet negatief kan zijn, is

${\displaystyle c={\sqrt {25}}=5}$

Als van dezelfde driehoek de lengten ${\displaystyle b=4}$ en ${\displaystyle c=5}$ gegeven zijn, volgt de lengte ${\displaystyle a}$ van de overgebleven zijde uit:

${\displaystyle a^{2}=c^{2}-b^{2}=5^{2}-4^{2}=25-16=9}$

Omdat de lengte ${\displaystyle a}$ niet negatief kan zijn, is

${\displaystyle a={\sqrt {9}}=3}$

Er bestaan meer dan 350 bewijzen voor de stelling van Pythagoras. Onder deze bewijzen zijn er die zijn ontdekt of mogelijk herontdekt door prominenten, zoals James Garfield, de 20e president van de Verenigde Staten, en Multatuli.

Bewijs met opdelen vierkant

Bewijs

Een van de meer eenvoudige bewijzen deelt een vierkant met zijde ${\displaystyle a+b}$ op twee manieren in. In de linkerfiguur is het vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde ${\displaystyle a}$, een vierkant met zijde ${\displaystyle b}$, en 4 rechthoekige driehoeken. De rechterfiguur is een vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde ${\displaystyle c}$ en dezelfde 4 rechthoekige driehoeken.

Beide figuren tonen een vierkant met zijde ${\displaystyle a+b}$, dus beide vierkanten hebben dezelfde oppervlakte. Laat men nu zowel links als rechts de vier rechthoekige driehoeken weg, dan hebben de figuren die overblijven ook dezelfde oppervlakte. Links blijven een vierkant met zijde ${\displaystyle a}$ en een vierkant met zijde ${\displaystyle b}$ over, met een gezamenlijke oppervlakte van ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$. Rechts resteert een vierkant[2] met zijde ${\displaystyle c}$. Het vierkant met zijde ${\displaystyle c}$ heeft een oppervlakte van ${\displaystyle c^{2}}$. Hiermee is de stelling bewezen.

Voor mensen die van meer algebraïsche bewijzen houden, ziet het bewijs er als volgt uit: Telkens zijn er een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst. De lengte en breedte van de zijden van het vierkant zijn beide ${\displaystyle a+b}$, dus de oppervlakte van het grote vierkant is ${\displaystyle (a+b)^{2}}$.

De oppervlakte is ook gelijk aan de som van de vier driehoeken ${\displaystyle 4\times {\tfrac {1}{2}}ab}$ plus de oppervlakte van het binnenste vierkant, dat oppervlakte ${\displaystyle c^{2}}$ heeft. Dus

${\displaystyle (a+b)^{2}=2ab+c^{2}}$

Uitwerken van het kwadraat links geeft:

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}}$,

dus:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Bewijs met gelijkvormigheid

Een ander inzichtelijk bewijs maakt gebruik van een hulplijn. Hiertoe dient de hoogtelijn vanuit de rechte hoek ${\displaystyle C}$, die zijde ${\displaystyle AB}$ snijdt in het punt ${\displaystyle D}$.

Het is nu snel in te zien dat driehoek ${\displaystyle ACD}$ gelijkvormig is aan driehoek ${\displaystyle ABC}$. Immers, de hoeken bij ${\displaystyle A}$ zijn dezelfde, en beide driehoeken hebben ook een rechte hoek, bij ${\displaystyle D}$ resp. ${\displaystyle C}$.

Op dezelfde manier blijkt dat driehoek ${\displaystyle CBD}$ gelijkvormig is aan driehoek ${\displaystyle ABC}$. Er zijn dus drie gelijkvormige driehoeken. Wordt gekeken naar de verhoudingen van de lengtes van de zijden van de driehoeken, dan ziet men dat die gelijk zijn aan ${\displaystyle a:b:c}$, precies de schuine zijden van de drie driehoeken. Dat betekent dat de oppervlaktes van de driehoeken zich verhouden als ${\displaystyle a^{2}:b^{2}:c^{2}}$, de kwadraten van de verhoudingen van de zijden. Omdat duidelijk is dat ${\displaystyle \mathrm {Opp} \,CBD+\mathrm {Opp} \,ACD=\mathrm {Opp} \,ABC}$, geldt kennelijk voor een bepaald getal ${\displaystyle k}$ dat ${\displaystyle ka^{2}+kb^{2}=kc^{2}}$. De stelling van Pythagoras volgt door deling door ${\displaystyle k}$.

Hoewel geen formeel bewijs, is het bewijs zonder woorden een populaire manier om de geldigheid van een stelling te visualiseren zonder daarbij tekst te gebruiken. Ook van de stelling van Pythagoras zijn diverse bewijzen zonder woorden bekend, met name zogenaamde puzzelstukjesbewijzen. Enkele voorbeelden staan hieronder.

• 
  Animatie
• 
• 
  Puzzelstukjesbewijs
• 
  Puzzelstukjesbewijs
• 
  Animatie
• 
  Puzzelstukjesbewijs
• 
  Bewijs bij herschikking

De omkering van de stelling van Pythagoras is ook waar. Als voor een driehoek met zijden ${\displaystyle a,\ b}$ en ${\displaystyle c}$ geldt:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

dan is die driehoek rechthoekig, met de hoek die tegenover de zijde ${\displaystyle c}$ en ligt de rechte hoek.

Als geldt dat ${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2}}$, is de hoek die niet aan ${\displaystyle c}$ ligt, scherp. Als ${\displaystyle a^{2}+b^{2}<c^{2}}$, is die hoek stomp. Dit volgt meer precies uit de cosinusregel, die geldt als een uitbreiding van de stelling van Pythagoras voor alle driehoeken.

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$,

waarin ${\displaystyle \gamma }$ de hoek bij hoekpunt ${\displaystyle C}$ is. De stelling van Pythagoras is een bijzonder geval van de cosinusregel, voor het geval ${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$.

De stelling van Pythagoras geldt voor rechthoekige driehoeken waarvan de rechthoekszijden willekeurige reële getallen zijn, en de Oude Grieken wisten al dat de schuine zijde niet altijd commensurabel is met de rechthoekszijden, zelfs als deze laatsten gehele getallen zijn. Zij hadden echter een bijzondere voorkeur voor meetkundige figuren waarvan de zijden wél onderling commensurabel zijn, d.w.z. dat zij zich verhouden als breuken.

Dit gaf aanleiding tot de zoektocht naar drietallen positieve gehele getallen ${\displaystyle (a,b,c)}$ waarvoor ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$ In zekere zin het kleinste drietal dat aan die relatie voldoet, is ${\displaystyle (3,4,5);}$ immers, ${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2}.}$

Een dergelijk drietal heet pythagorees, en de algemene formule luidt ${\displaystyle (m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2})}$ waarbij ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ willekeurige positieve gehele getallen zijn met ${\displaystyle m>n.}$

Uit de stelling van Pythagoras volgt eveneens de grondformule van de goniometrie. Voor een rechthoekige driehoek met schuine zijde gelijk aan 1 geldt namelijk:

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$

Door herhaling van de stelling van Pythagoras in driehoek ${\displaystyle ABC}$ en vervolgens driehoek ${\displaystyle ACD}$ vindt men dat de lichaamsdiagonaal ${\displaystyle AD}$ een lengte heeft die de wortel is uit de som van de kwadraten van de drie ribben ${\displaystyle AB,\ BC}$ en ${\displaystyle CD}$.

De afstandsformule in het cartesisch coördinatenstelsel is van de stelling van Pythagoras afgeleid. De euclidische afstand tussen de punten ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ en ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ wordt gegeven door

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}$

Wordt gekeken in ${\displaystyle n}$-dimensionale cartesische coördinaten, dan is de afstand van ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ tot ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$ gedefinieerd door

${\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\ldots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}}$

Deze algemene formule kan men afleiden door herhaling van de afstandsformule in 2 dimensies.

Dit kan men zich voorstellen door in drie dimensies te kijken naar een balk (zie figuur hiernaast). De ribben in de drie verschillende richtingen horen bij de verschillen van de ${\displaystyle x}$-, ${\displaystyle y}$- en ${\displaystyle z}$-coördinaten. Men vindt nu de lengte van de lichaamsdiagonaal ${\displaystyle AD}$ door eerst te zien dat ${\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}}$ (driehoek ABC is recht) en vervolgens dat ${\displaystyle AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}}$ (ook driehoek ACD is recht). Samen levert dit ${\displaystyle AD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}}$.

De correctheid van de stelling van Pythagoras hangt cruciaal af van de axioma's van de vlakke meetkunde: in de niet-euclidische meetkunde is ze niet langer gegarandeerd.

Op een boloppervlak is het kwadraat van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek in het algemeen strikt kleiner dan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden; een extreem voorbeeld is de gelijkzijdige rechthoekige driehoek gevormd door drie punten die exact 90° van elkaar verwijderd liggen. In de hyperbolische meetkunde geldt dan weer dat de schuine zijde groter is dan wat de formule van Pythagoras zou doen verwachten.

• Boom van Pythagoras
• Spiraal van Theodorus
• Stelling van De Gua

• (en) Een website met 117 bewijzen voor de stelling van Pythagoras (per 9 mei 2016)

Zie de categorie Pythagorean theorem van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.