Lineaire transformatie

Een lineaire transformatie ${\displaystyle T:V\to V}$ van een n-dimensionale vectorruimte ${\displaystyle V}$ wordt vastgelegd door de beelden ${\displaystyle T(b_{1}),\ldots ,T(b_{n})}$ van een geordende basis ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{n})}$ van ${\displaystyle V}$. Een willekeurige vector ${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}b_{i}\in V}$ met coördinaten ${\displaystyle (\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}$ ten opzichte van deze basis wordt immers afgebeeld op:

${\displaystyle T(x)=T\left(\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}b_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}T(b_{i})}$.

Door de keuze van een geordende basis ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{n})}$ in ${\displaystyle V}$ wordt de lineaire transformatie ${\displaystyle T}$ geheel bepaald door de matrix ${\displaystyle \tau }$ die als elementen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren heeft. Deze beelden worden bepaald door:

${\displaystyle T(b_{i})=\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}}$,

Voor het beeld ${\displaystyle T(x)=\sum _{j=1}^{n}\eta _{j}b_{j}}$ van ${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}b_{i}}$ geldt dus:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\eta _{j}b_{j}=T(x)=T\left(\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}b_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}T(b_{i})=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}t_{ij}b_{j}}$.

zodat:

${\displaystyle \eta _{j}=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}t_{ij}}$.

Dit komt neer op het matrixproduct van de kolomvector ${\displaystyle \xi =[\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}]^{\top }}$ van de coördinaten van ${\displaystyle x}$ met de matrix ${\displaystyle \tau =(t_{ij})^{\top }}$, met als resultaat de kolomvector ${\displaystyle \eta =[\eta _{1},\ldots ,\eta _{n}]^{\top }}$ van de coördinaten van ${\displaystyle T(x)}$:

${\displaystyle \eta =\tau \xi }$.

Uitgeschreven ziet dat er zo uit:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\eta _{1}\\\eta _{2}\\\vdots \\\eta _{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\tau _{11}&\tau _{12}&\cdots &\tau _{1n}\\\tau _{21}&\tau _{22}&\cdots &\tau _{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\tau _{n1}&\tau _{m2}&\cdots &\tau _{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\\\vdots \\\xi _{n}\end{bmatrix}}}$,

waarin ${\displaystyle \tau _{ij}=t_{ji}}$. De matrix ${\displaystyle \tau }$ die de transformatie ${\displaystyle T}$ representeert, heeft dus als kolommen de coördinaten van de beelden van de basisvectoren.

De lineaire transformatie ${\displaystyle T}$ van de vectorruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ beeldt de basisvectoren (1,0) en (0,1) af op de vectoren (3,2) en (5,4). Daarmee is ${\displaystyle T}$ geheel vastgelegd. De matrix van ${\displaystyle T}$ is dan

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\2&4\end{bmatrix}}}$.

Het beeld van bijvoorbeeld de vector ${\displaystyle (-1,5)}$ heeft dan de coördinaten:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}22\\18\end{bmatrix}}}$.

Dus is ${\displaystyle T(-1,5)=22(1,0)+18(0,1)=(22,18)}$.

Een lineaire transformatie kan bijectief zijn. De determinant van de matrix van de transformatie is dan verschillend van 0 en de matrix heeft volle rang, wat onder andere inhoudt dat de kolommen onderling onafhankelijk zijn.

Als de transformatie niet inverteerbaar is, is de determinant van de matrix gelijk aan 0. De rang van de matrix is dan kleiner dan de dimensie van de ruimte, dus zijn de kolommen niet onderling onafhankelijk. De beelden van de basisvectoren brengen dan een deelruimte voort van geringere dimensie. Er is een deelruimte, de nulruimte of kern van de transformatie, die op de nulvector wordt afgebeeld.

Lineaire transformaties van de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, kunnen beschreven worden door een 2×2-matrix ${\displaystyle A}$. Kiest men de eenheidsvectoren als basis dan zijn de kolommen van ${\displaystyle A}$, als vector gezien, de beelden van de eenheidsvectoren. Enkele voorbeelden:

Ieder punt wordt op zichzelf afgebeeld.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$.

Een rotatie van 90° tegen de klok in:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$

Een rotatie over een hoek ${\displaystyle \theta }$ tegen de klok in:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$.

Spiegeling om de x-as:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$.

Een homothetie met factor 2:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}}$.

Een schaling met een factor ${\displaystyle r}$ in de horizontale richting en een factor ${\displaystyle s}$ in de verticale richting:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}r&0\\0&s\end{bmatrix}}}$.

Horizontale afschuiving:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&m\\0&1\end{bmatrix}}}$.

Horizontaal uitrekken en verticaal samendrukken (met factor k > 1):

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}}$.

Projectie op de y-as:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

Als ${\displaystyle T_{1}}$ en ${\displaystyle T_{2}}$ lineaire transformaties zijn van een vectorruimte ${\displaystyle V}$, is hun som ${\displaystyle T_{1}+T_{2}}$, die gedefinieerd is door

${\displaystyle \forall v\in V:(T_{1}+T_{2})(v)=T_{1}(v)+T_{2}(v)}$,

ook een lineaire transformatie van ${\displaystyle V}$.

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van ${\displaystyle V}$ is de matrix ${\displaystyle A}$ van ${\displaystyle T_{1}+T_{2}}$ gelijk aan de som ${\displaystyle A_{1}+A_{2}}$ van de matrices ${\displaystyle A_{1}}$ en ${\displaystyle A_{2}}$ van respectievelijk ${\displaystyle T_{1}}$ en ${\displaystyle T_{2}}$:

${\displaystyle A=A_{1}+A_{2}}$.

Als ${\displaystyle T_{1}}$ een lineaire transformatie is van een vectorruimte ${\displaystyle V}$ en ${\displaystyle \alpha }$ een reëel getal, dan is het scalaire product ${\displaystyle \alpha T_{1}}$, dat gedefinieerd is door

${\displaystyle \forall v\in V:(\alpha T_{1})(v)=\alpha (T_{1}(v))}$,

ook een lineaire transformatie van ${\displaystyle V}$.

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van ${\displaystyle V}$ is de matrix ${\displaystyle A}$ van ${\displaystyle \alpha T_{1}}$ gelijk aan het scalaire product ${\displaystyle \alpha A_{1}}$ van ${\displaystyle \alpha }$ en de matrix ${\displaystyle A_{1}}$ van ${\displaystyle T_{1}}$:

${\displaystyle A=\alpha A_{1}}$.

Als ${\displaystyle T_{1}}$ en ${\displaystyle T_{2}}$ lineaire transformaties zijn van een vectorruimte ${\displaystyle V}$, dan hun samenstelling ${\displaystyle T_{1}\circ T_{2}}$, die gedefinieerd is door

${\displaystyle \forall v\in V:(T_{1}\circ T_{2})(v)=T_{1}(T_{2}(v))}$,

ook een lineaire transformatie van ${\displaystyle V}$.

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van ${\displaystyle V}$ is de matrix ${\displaystyle A}$ van ${\displaystyle T_{1}\circ T_{2}}$ gelijk aan het matrixproduct ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$ van de matrices ${\displaystyle A_{1}}$ en ${\displaystyle A_{2}}$ van respectievelijk ${\displaystyle T_{1}}$ en ${\displaystyle T_{2}}$:

${\displaystyle A=A_{1}A_{2}}$.

• De verzameling van de eigenvectoren van een lineaire transformatie ${\displaystyle T}$ die behoren bij dezelfde eigenwaarde, vormen samen met de nulvector een deelruimte van de vectorruimte ${\displaystyle V}$. Die ruimte heet de eigenruimte behorend bij de eigenwaarde.
• Als een lineaire transformatie bijectief is, is de inverse ook een lineaire transformatie.

Eindigdimensionale geval:

• Als een lineaire transformatie van een ${\displaystyle n}$-dimensionale ruimte, ${\displaystyle n}$ verschillende eigenwaarden heeft, vormen de eigenvectoren corresponderend met die eigenwaarden een basis van ${\displaystyle V}$.
• Als er in een vectorruimte een basis is bestaande uit eigenvectoren, dan is de matrix van die lineaire transformatie, ten opzichte van die basis, een diagonaalmatrix.