Genormeerde vectorruimte

Met twee- of driedimensionale vectoren met reëelwaardige kentallen, is het idee van de "lengte" van een vector een intuïtief idee, dat gemakkelijk kan worden uitgebreid naar alle reële vectorruimten ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ De volgende eigenschappen van de "lengte van een vector" zijn essentieel.

1. De nulvector heeft de lengte nul; alle andere vectoren hebben een positieve lengte.
   ${\displaystyle \quad \|x\|>0}$ als ${\displaystyle x\neq 0}$
2. Het vermenigvuldigen van een vector met een positief getal verandert de lengte van de vector, maar niet zijn richting. Zie eenheidsvector.
   ${\displaystyle \quad \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|}$ voor enige scalar ${\displaystyle \alpha }$
3. De lengte voldoet aan de driehoeksongelijkheid. Dat houdt in dat de afstand van punt A via punt B naar punt C nooit korter is dan de afstand die wordt afgelegd, wanneer men rechtstreeks van A naar C gaat, of in andere woorden de kortste afstand tussen twee punten is een rechte lijn.
   ${\displaystyle \quad \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$ voor enige vectoren ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ (driehoeksongelijkheid)

Op een genormeerde vectorruimte wordt door de norm een metriek geïnduceerd door de afstand ${\displaystyle d(v,w)}$ tussen twee vectoren ${\displaystyle v}$ en ${\displaystyle w}$ te definiëren als de norm van de verschilvector:

${\displaystyle d(v,w)=\|v-w\|}$

Met deze metriek is een genormeerde ruimte een metrische ruimte. Als deze metrische ruimte volledig is, spreekt men van een banachruimte.