Producttopologie

Laat ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ en ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T'}})}$ twee topologische ruimten zijn. De producttopologie van het cartesisch product ${\displaystyle X\times Y}$ is de topologie voortgebracht door producten van open delen van ${\displaystyle X}$ en van ${\displaystyle Y}$. Dat wil zeggen

${\displaystyle \{U\times V\mid U\in {\mathcal {T}},V\in {\mathcal {T'}}\}}$

is een subbasis voor de producttopologie, d.w.z. brengt de producttopologie voort.

Voor het cartesische product

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\{f:I\mapsto \bigcup _{i}X_{i}\mid \forall i\in I,f(i)\in X_{i}\}}$

van de verzamelingen uit de familie topologische ruimten

${\displaystyle \{(X_{i},{\mathcal {T}}_{i})\mid i\in I\}}$

is de producttopologie de kleinste topologie die alle projectie-afbeeldingen

${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j}:f\mapsto f(j)}$

continu maakt. Het is dus de initiale topologie van de projecties.

De producttopologie op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ van ${\displaystyle n}$ keer de gewone topologie op ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is dezelfde als de topologie van de Euclidische afstandsfunctie op ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

De verzameling van alle reële afbeeldingen ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ kan worden opgevat als het oneindig Cartesisch product ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$. De producttopologie is de topologie van puntsgewijze convergentie, dat wil zeggen dat een rij reële functies ${\displaystyle (f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots )}$ in deze topologie convergeert als en slechts als hun waarden in ieder punt ${\displaystyle x}$ afzonderlijk convergeren, en de functiewaarde van de limietfunctie is de limiet van de functiewaarden:

${\displaystyle (\lim _{n\to \infty }f_{n})(x)=\lim _{n\to \infty }(f_{n}(x))}$

De stelling van Tychonov luidt dat elk product van compacte topologische ruimten compact is. Voor een product van een eindig aantal ruimten is dit elementair, maar de stelling blijft geldig voor oneindige producten. Het bewijs hangt cruciaal af van het keuzeaxioma en de stelling is er zelfs mee gelijkwaardig.