Orthogonale matrix

Een vierkante matrix ${\displaystyle A}$ heet orthogonaal als de kolommen een orthonormaal stelsel vormen, dus als

${\displaystyle A^{\text{T}}A=I}$,

waarin ${\displaystyle I}$ de eenheidsmatrix is.

Hiermee equivalent is dat ${\displaystyle A}$ inverteerbaar is en de inverse gelijk is aan de getransponeerde van ${\displaystyle A}$ , dus als:

${\displaystyle A^{-1}=A^{\text{T}}}$

Van een orthogonale matrix zijn ook de rijen orthonormaal:

${\displaystyle AA^{\text{T}}=I}$

• De determinant van een orthogonale matrix ${\displaystyle A}$ is gelijk aan +1 of –1. Er geldt immers:

${\displaystyle 1=\det(I)=\det(A^{\text{T}}A)=\det(A^{\text{T}})\det(A)=(\det(A))^{2}}$.

• Het product van twee orthogonale matrices ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ is weer orthogonaal, immers:

${\displaystyle (AB)^{\text{T}}AB=B^{\text{T}}A^{\text{T}}AB=B^{\text{T}}IB=B^{\text{T}}B=I}$.

• Orthogonale matrices bewaren het inproduct, dat wil zeggen als ${\displaystyle A}$ orthogonaal is, geldt:

${\displaystyle \langle Av,Aw\rangle =\langle v,A^{\text{T}}Aw\rangle =\langle v,w\rangle }$.

De afbeeldingen ${\displaystyle x\mapsto Ax+b}$ representeren dus isometrieën, want

${\displaystyle \|Ax+b-Ay-b\|^{2}=\|A(x-y)\|^{2}=\langle A(x-y),A(x-y)\rangle =\langle x-y,x-y\rangle =\|x-y\|^{2}}$.

• Voor de eigenwaarde ${\displaystyle \lambda }$ met bijbehorende eigenvector ${\displaystyle x}$ van een orthogonale matrix ${\displaystyle A}$ geldt:

${\displaystyle \langle x,x\rangle =\langle Ax,Ax\rangle =\langle \lambda x,\lambda x\rangle =\lambda ^{2}\langle x,x\rangle }$, dus ${\displaystyle \lambda ^{2}=1}$