Symmetriegroep

Isometrieën kunnen worden onderscheiden in die zonder en die met verandering van oriëntatie. Verandering van oriëntatie vindt plaats:

• in 1D bij spiegeling in een punt
• in 2D bij spiegeling in een lijn, inclusief glijspiegeling
• in 3D bij spiegeling in een vlak, inclusief glijspiegeling en draaispiegeling

Puntspiegeling in 2D valt hier niet onder.

Een symmetriegroep bevat óf alleen isometrieën zonder verandering van oriëntatie (zo'n symmetriegroep en figuren/objecten met zo'n symmetriegroep heten chiraal), of zowel met als zonder. In het laatste geval vormen de isometrieën zonder verandering van oriëntatie een subgroep: de chirale versie van de symmetriegroep, corresponderend met de chirale versie van de betreffende symmetrie.

Als de positie en stand van spiegels[1] buiten beschouwing gelaten wordt zijn alle eindige chirale symmetriegroepen in 1D en 2D de chirale versie van precies één achirale symmetriegroep, maar in 3D zijn alle eindige chirale symmetriegroepen de chirale versie van meerdere achirale symmetriegroepen, behalve bij octahedrale en icosahedrale symmetrie (zie onder). Ook zijn alle chirale strookpatroongroepen de chirale versie van meerdere achirale symmetriegroepen. Van de chirale behangpatroongroepen is alleen p6 de chirale versie van maar één achirale symmetriegroep.

In 3D is elke eindige chirale symmetriegroep de chirale versie van precies één achirale symmetriegroep die ${\displaystyle C_{i}}$ (zie onder) bevat, namelijk de directe som van die chirale symmetriegroep en ${\displaystyle C_{i}}$.[2][3]

In 3D is ook elke translatiegroep de chirale versie van precies één achirale symmetriegroep die ${\displaystyle C_{i}}$ bevat, die ook gevormd door toevoeging van de combinaties van een translatie en de inverse, alleen commuteren die niet. Iets dergelijks kan ook gelden bij andere chirale symmetriegroepen, maar dan met dien verstande dat het gaat om de inversie t.o.v. een geschikt punt, bijvoorbeeld op een rotatie-as.

Soms heeft een symmetriegroep ${\displaystyle S}$ twee subgroepen ${\displaystyle G}$ en ${\displaystyle H}$ met de volgende eigenschappen:

• ${\displaystyle G}$ en ${\displaystyle H}$ hebben alleen de identieke functie gemeenschappelijk.
• Ieder element van ${\displaystyle s\in S}$ kan geschreven worden als ${\displaystyle s=gh}$ met ${\displaystyle g\in G}$ en ${\displaystyle h\in H}$.
• Voor alle ${\displaystyle g\in G}$ en ${\displaystyle h\in H}$ geldt ${\displaystyle gh=hg}$.

Ieder element ${\displaystyle s\in S}$ kan dan op precies één manier geschreven worden als ${\displaystyle s=gh}$ met ${\displaystyle g\in G}$ en ${\displaystyle h\in H}$. De groepsoperatie van ${\displaystyle S}$ kan teruggebracht worden tot die binnen ${\displaystyle G}$ en ${\displaystyle H}$: ${\displaystyle (g_{1}h_{1})(g_{2}h_{2})=(g_{1}g_{2})(h_{1}h_{2})}$.

In 1D, 2D en 3D kan bijvoorbeeld ${\displaystyle H}$ de groep zijn voortgebracht door inversie, en ${\displaystyle G}$ een groep die de inversie niet bevat. In 3D is een ander voorbeeld: ${\displaystyle G}$ bestaat uit rotaties om een as en eventueel spiegelingen om vlakken door die as, en ${\displaystyle H}$ wordt voortgebracht door spiegeling in een vlak loodrecht op de as.

Een en ander kan de structuur van de symmetriegroep verduidelijken; hieronder wordt de notatie ${\displaystyle S=G\oplus H}$ gebruikt. Een gevolg van deze relatie (niet hetzelfde!) is dat de algebraïsche structuur van ${\displaystyle S}$ het product is van die van ${\displaystyle G}$ en die van ${\displaystyle H}$. Ter onderscheiding wordt daarbij het teken × gebruikt.

Zie ook directe som, direct product.

Bij de indeling van symmetriegroepen en wanneer het gaat om de symmetriegroep van een verplaatsbaar fysiek object (star lichaam) is het soms handig om de symmetriegroep van object A gelijk te stellen met die van object B, dat uit A ontstaat door een directe isometrie. De indeling wordt overzichtelijker, en eigenschappen die van de positie of stand van het fysieke object afhangen zijn eigenlijk geen eigenschappen van het object zelf. Bij de indeling hieronder wordt die gelijkstelling toegepast.

De precieze symmetriegroep van B wordt verkregen uit die van A door de directe isometrie ${\displaystyle d}$ toe te passen op de eventuele spiegelvlakken en rotatieassen (wat in beide gevallen in het algemeen zowel de stand als de positie verandert), en translatierichtingen (dus alleen aanpassing van de richtingen). Verder geldt dat als ${\displaystyle s}$ een symmetrie van A is, ${\displaystyle d^{-1}sd}$ de bijbehorende symmetrie van B is.

Een achirale symmetriegroep bevat evenveel chirale als achirale elementen.

Men kan een object dat qua vorm een bepaalde symmetrie heeft beschilderen (bijvoorbeeld in het geval van een veelvlak door de zijvlakken te kleuren of te nummeren) zodanig dat er geen symmetrie meer is. Elke stand van het object waarin het dezelfde ruimte inneemt als in de oorspronkelijke stand correspondeert met een element van de symmetriegroep van het onbeschilderde object; de standen zijn te onderscheiden door de beschildering (zie de afbeelding). De standen waarin men het object als fysiek object daadwerkelijk kan plaatsen zijn die waarbij men alleen hoeft te draaien; deze corresponderen met de elementen van de chirale versie van de symmetriegroep. Als het object qua vorm achirale symmetrie heeft, kan men de standen die corresponderen met de overige elementen van de symmetriegroep in een spiegel zien.

De zeven reeksen

Voorbeelden voor n = 6[4]

De symmetriegroepen in de zeven reeksen zijn gerelateerd aan de zeven strookpatroongroepen, met rotatie in plaats van translatie. In dezelfde volgorde als de strookpatroongroepen zijn dit (met voorbeelden):

• Met chirale versie C_n:
  • C_n[5] (orde n): een ronde plaat met op één zijde een figuur met rotatiesymmetrie van orde n; het draaiende deel van een windturbine / propeller / scheepsschroef / ventilator e.d. met n bladen heeft ook vaak deze symmetrie (geen extra symmetrie)
  • S_2n (orde 2n): een ronde plaat met op één zijde een figuur met rotatiesymmetrie van orde n en op de andere zijde, gezien vanaf dezelfde zijde dezelfde figuur maar dan 180°/n gedraaid; voor oneven n geldt S_2n = C_n ${\displaystyle \oplus }$ C_i; de groep is cyclisch en wordt voortgebracht door een draaispiegeling
  • C_nh = C_n ${\displaystyle \oplus }$ C_s[6] (orde 2n): een ronde plaat met door en door een figuur met rotatiesymmetrie van orde n; voor even n geldt ook C_nh = C_n ${\displaystyle \oplus }$ C_i
  • C_nv (orde 2n): een ronde plaat met op één zijde een figuur met dihedrale symmetrie van orde 2n; een regelmatige piramide (orde als voor de figuur / het grondvlak; er is geen extra symmetrie)
• Met chirale versie D_n[7]:
  • D_n (orde 2n): een ronde plaat met op beide zijden dezelfde figuur met rotatiesymmetrie van orde n
  • D_nd (orde 4n): een ronde plaat met op één zijde een figuur met dihedrale symmetrie van orde 2n en op de andere zijde dezelfde figuur maar dan 180°/n gedraaid; een regelmatig antiprisma; voor oneven n geldt D_nd = D_n ${\displaystyle \oplus }$ C_i
  • D_nh = C_nv ${\displaystyle \oplus }$ C_s (orde 4n): een ronde plaat met door en door een figuur met dihedrale symmetrie van orde 2n; een regelmatig prisma; een regelmatige bipiramide; voor even n geldt ook D_nh = D_n ${\displaystyle \oplus }$ C_i

Van alle Johnson-lichamen is de symmetriegroep in deze categorieën met n = 1, 2, 3, 4, 5.

Een symmetriegroep heeft oneindig veel elementen o.m. als er translaties bij zijn, zie ook strookpatroongroep en behangpatroongroep. Een ander voorbeeld in 2D is de symmetriegroep corresponderend met cirkelsymmetrie, de orthogonale groep O(2).

Als het gaat om visuele symmetrie kunnen bepaalde tussenvormen tussen discrete en continue symmetrie buiten beschouwing worden gelaten, zoals met een symmetriegroep die in een bepaalde richting willekeurig kleine, maar niet alle translaties bevat, of ten opzichte van een bepaald punt willekeurig kleine, maar niet alle rotaties. Voor een symmetriegroep ${\displaystyle G}$ kan men daarbij formeel het criterium hanteren of voor elk punt ${\displaystyle x}$ de verzameling ${\displaystyle \{g\cdot x\mid g\in G\}}$ een gesloten verzameling is. Bij de "tussenvormen" is dat niet het geval. Als deze buiten beschouwing worden gelaten worden overzichten van alle symmetriegroepen voor een bepaalde ruimte eenvoudiger.

Een voorbeeld van een "tussenvorm" voor de eendimensionale ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is de translatiegroep voortgebracht door translaties met afstand 1 en √2. De verzameling translatie-afstanden is aftelbaar, maar ligt dicht in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Deze verzameling is dus niet gesloten. Deze translatiegroep is bijvoorbeeld de symmetriegroep van ${\displaystyle \{m+n{\sqrt {2}}+p{\sqrt {3}}\mid m,n\in \mathbb {Z} ,p\in \{0,1,3\}\}}$.

Als de tussenvormen buiten beschouwing worden gelaten blijven voor de eendimensionale ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de volgende symmetriegroepen over:

• de triviale groep
• de groep isomorf met de cyclische groep ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• de groepen isomorf met ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (een voor elke positieve translatie-afstand)
• de groepen isomorf met de symmetriegroep van ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (oneindige dihedrale groep), met als parameter de positieve translatie-afstand (de spiegelpunten hebben een onderlinge afstand van de halve translatie-afstand)
• de isometriegroep van ${\displaystyle \mathbb {R} }$

De groep van alle translaties is van geen enkel object de symmetriegroep.

Voor het vlak ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ blijven de volgende symmetriegroepen over (zie ook boven):

• de triviale groep
• de groepen isomorf met de cyclische groep ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, met als parameter ${\displaystyle n=2,3,\ldots }$ (rotatiesymmetrie van orde n).
• de groepen isomorf met de dihedrale groep van orde ${\displaystyle 2n}$, met als parameter ${\displaystyle n=2,3,\ldots }$ (de spiegels gaan door het draaipunt en maken een onderlinge hoek van 180 graden gedeeld door ${\displaystyle n}$)
• de groep van alle rotaties om een punt en alle spiegelingen met een spiegel door dat punt (het is de symmetriegroep van cirkelsymmetrie ten opzichte van dat punt)
• de groepen van het type strookpatroongroep, met per strookpatroongroep als parameter de translatieafstand
• de groepen van het type behangpatroongroep, met afhankelijk van de behangpatroongroep nog een of meer parameters
• de groepen die de directe som zijn van de symmetriegroep van ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (voor één richting) en een van de bovengenoemde symmetriegroepen voor ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (voor de richting loodrecht daarop)

Onder meer de groep van alle rotaties om een punt is van geen enkel object de symmetriegroep.

De symmetriegroep van een object dat zich uitstrekt over een verzameling van twee of meer punten op een rechte lijn hangt volgens bovenstaande definitie ervan af of het een object in bijvoorbeeld de een-, twee- of driedimensionale euclidische ruimte is. Vergeleken met de symmetrie van het object als object in de eendimensionale euclidische ruimte komt er als object in de tweedimensionale euclidische ruimte spiegelsymmetrie in de betreffende lijn bij, en als object in de driedimensionale euclidische ruimte meer spiegelsymmetrie en ook rotatiesymmetrie met de betreffende lijn als as. De symmetriegroep van het object op zich is de symmetriegroep van dit object in de verzameling waarover dit object zich uitstrekt, met de geïnduceerde metriek. Deze symmetriegroep komt in het voorbeeld in essentie overeen met die van het object in de eendimensionale euclidische ruimte (niet alleen algebraïsch isomorf, maar ook qua meetkundige aspecten).

In plaats van rechtstreeks kan de symmetriegroep van een object in een euclidische ruimte ook worden gedefinieerd uitgaande van de genoemde definitie van de symmetriegroep van een object op zich, en wel door het geheel van het object en de rest van de ruimte als nieuw object te beschouwen (zoals bij een afbeelding een egale achtergrond wel of niet tot de afbeelding gerekend kan worden).

In de scheikunde is de symmetriegroep van een molecuul of van een rooster van belang; als deze alleen directe isometrieën bevat heet het molecuul of rooster chiraal. In een chiraal molecuul of rooster komen dus geen spiegelingen voor die het molecuul of rooster hetzelfde laten.

• Puntgroep