Regelmatige veelhoek

Een regelmatige veelhoek is in de meetkunde een veelhoek waarvan de zijden alle dezelfde lengte hebben, en alle hoeken aan elkaar gelijk zijn. Een regelmatige $n$ -hoek is dus opgebouwd uit $n$ paarsgewijs met elkaar verbonden even lange lijnstukken die $n$ keer dezelfde hoek met elkaar maken. De hoekpunten liggen op een cirkel.

Het zijn de gelijkzijdige driehoek, het vierkant, de regelmatige vijfhoek, regelmatige zeshoek enzovoort.

Een regelmatige $n$ -hoek is construeerbaar met passer en liniaal dan en slechts dan als de oneven priemfactoren van $n$ allemaal verschillende Fermat-priemgetallen zijn, of als $n$ een macht is van $2$ , groter dan $2$ . De enige bekende Fermat-priemgetallen zijn $3,5,17,257$ en $65537$ .

Grootte van de hoeken

De grootte van de hoeken tussen twee verbonden zijden van de regelmatige $n$ -hoek is af te leiden door een willekeurig punt binnen de $n$ -hoek te nemen en van daaruit $n$ lijnstukken te trekken naar de hoekpunten. Hierdoor ontstaan $n$ driehoeken. De som van de hoeken van iedere driehoek is 180°. Bij elkaar opgeteld leveren de hoeken van de $n$ driehoeken een totaal van $n\cdot 180^{\circ }$ . Hiervan bevindt zich, na aftrekken van de hoeken die samenkomen bij het inwendige punt, $n\cdot 180^{\circ }-360^{\circ }=(n-2)\cdot 180^{\circ }$ langs de randen van de veelhoek. Omdat alle $n$ hoeken van de veelhoek even groot zijn, is de grootte van elke hoek gelijk aan

{\frac {n\cdot 180^{\circ }-360^{\circ }}{n}}=180^{\circ }-{\frac {360^{\circ }}{n}}

regelmatige veelhoeken
naam	aantal zijden	hoek	som der hoeken
driehoek	3	60°	180°
vierkant	4	90°	360°
vijfhoek	5	108°	540°
zeshoek	6	120°	720°
zevenhoek	7	± 128,6°	900°
achthoek	8	135°	1080°
negenhoek	9	140°	1260°
tienhoek	10	144°	1440°
elfhoek	11	± 147,3°	1620°
twaalfhoek	12	150°	1800°
dertienhoek	13	± 152,308°	1980°
veertienhoek	14	± 154,285°	2160°
vijftienhoek	15	156°	2340°
zestienhoek	16	157,5°	2520°
zeventienhoek	17	± 158,82°	2700°
achttienhoek	18	160°	2880°
negentienhoek	19	± 161,052°	3060°
twintighoek	20	162°	3240°

Het Grieks voor hoek is Γωνία, gonia. De namen voor de verschillende veelhoeken in het Grieks waren het telwoord met daarachter gonia. Die namen hebben de regelmatige veelhoeken in het Engels vanaf de vijfhoek nog steeds.

Een sterveelhoek is ook een regelmatige figuur in het platte vlak waarvan de hoekpunten ook op een cirkel liggen, maar de zijden van een sterveelhoek doorsnijden elkaar.
Een regelmatig veelvlak is een regelmatige figuur in drie dimensies, waarvan de zijvlakken regelmatige veelhoeken zijn en waarvan alle hoekpunten op een bol liggen.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.