Dihedrale groep

In de groepentheorie in combinatie met de meetkunde, deelgebieden van de wiskunde, is een dihedrale groep (ook diëdergroep) in 2D de groep van symmetrieën van een regelmatige veelhoek. Anders gezegd vormen zij de symmetriegroepen van de regelmatige veelhoeken onder de rotatie en de spiegeling. Dihedrale groepen behoren tot de eenvoudige voorbeelden van de eindige groepen en spelen een belangrijke rol in de groepentheorie, de meetkunde en de scheikunde.

Deze sneeuwvlok heeft de dihedrale symmetrie van een regelmatig zeshoek.

De dihedrale groep D_n heeft 2n elementen. Onderscheiden moeten worden D_n als isometriegroep in 2D, als isometriegroep in 3D, en als algebraïsche groep (hetzelfde voor beide).

De dihedrale isometriegroep D_n in 2D is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek. Bij gelijkstelling van symmetriegroepen van figuren die uit elkaar ontstaan door een directe isometrie is er voor een gegeven vlak slechts één zo'n groep. D₁ in 2D is spiegeling in een lijn, algebraïsch wel, maar meetkundig niet hetzelfde als C₂ (rotatiesymmetrie van orde 2).

De dihedrale isometriegroep D_n in 3D is de symmetriegroep die onder meer beschreven kan worden als die van een ronde plaat met op beide zijden dezelfde figuur met rotatiesymmetrie van orde n. Bij gelijkstelling van symmetriegroepen van objecten die uit elkaar ontstaan door een directe isometrie is er voor de driedimensionale ruimte weer slechts één zo'n groep. D₁ in 3D, die dus beschreven kan worden als de symmetriegroep van een ronde plaat met op beide zijden dezelfde asymmetrische figuur, is meetkundig, anders dan in 2D, wel hetzelfde als C₂ in 3D (rotatiesymmetrie van orde 2). Dat laatste is ook een eenvoudiger beschrijving van deze symmetriegroep.