Alternerende groep

In de groepentheorie, een tak van de wiskunde, is de alternerende groep op n elementen, genoteerd als ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$, de ondergroep van de symmetrische groep ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ die bestaat uit de even permutaties.

De alternerende groep A₃ op 3 elementen kan worden gemodelleerd als de rotatiesymmetrieën van een gelijkzijdige driehoek. De spiegelingen ten opzichte van de rode assen zijn de oneven elementen van S₃

De symmetrische groep ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ bestaat uit alle permutaties van een verzameling van ${\displaystyle n}$ verschillende elementen. De samenstelling van permutaties is de bewerking.

Elk element van ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ kan geschreven worden als een samenstelling van een eindig aantal paarsverwisselingen (permutaties die slechts de waarde op twee verschillende plaatsen veranderen). Deze schrijfwijze is niet uniek, maar de pariteit van het aantal paarsverwisselingen is wel onveranderlijk. Een even permutatie is een samenstelling van een even aantal paarsverwisselingen, een oneven permutatie is een samenstelling van een oneven aantal paarsverwisselingen. De identieke permutatie is even.

De alternerende groep ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ is de ondergroep van ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ die bestaat uit de even permutaties.

In de groepen met meer elementen dan alleen maar de identiteit, dat is met ${\displaystyle n>1}$, bevat ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ precies de helft van het aantal elementen van ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$, dus ${\displaystyle n! \over 2}$ (zie faculteit).

Zo is ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{4}}$ isomorf met de symmetriegroep van de tetraëder.

Voor ${\displaystyle n\geq 4}$ is ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ niet abels.