Strookpatroongroep

Het geheel van symmetrie van een tweedimensionaal patroon met translatiesymmetrie in precies één richting kan worden ingedeeld in 7 categorieën, die strookpatroongroepen worden genoemd. Binnen een categorie kunnen parameters variëren (translatievector, en positie van eventuele spiegels en/of rotatiepunten) maar is het geheel van symmetrie in essentie hetzelfde. Aangezien de symmetriegroep van een patroon de exacte symmetrie representeert is een strookpatroongroep een categorie van symmetriegroepen.

De 7 strookpatroongroepen

Strookpatronen worden onder andere toegepast in de architectuur als friezen.

In de beschrijving en afbeeldingen wordt hier uitgegaan van een horizontale translatievector.

In plaats van patronen in een vlak kan men ook patronen op een gegeven oneindige horizontale strook (lint, band) beschouwen. Binnen een strookpatroongroep zijn de parameters dan beperkt tot de translatieafstand en de horizontale positie van eventuele verticale spiegels en/of rotatiepunten.

De 7 strookpatroongroepen worden ieder gekarakteriseerd doordat de symmetriegroepen behalve uit de zich repeterende translatie uit nul of meer van de volgende isometrieën zijn opgebouwd:

• rotatie over een hoek van 180°
• spiegelingen, in een horizontale of verticale lijn en

Een glijspiegeling is een combinatie van een spiegeling in de verticale lijn en een transformatie. Patroon 2 wordt bijvoorbeeld ook door een glijspiegeling opgebouwd, maar die valt binnen deze gegeven definitie. In de patronen 4, 6 en 7 komt ook een glijspiegeling voor. Een rotatie komt overeen met tegelijk een spiegeling in de horizontale en in de verticale lijn.

De 7 strookpatronen staan hieronder genoemd en rechts afgebeeld. Er staat niet steeds bij dat zij ook door de translatievector worden voortgebracht.

• met chirale versie C_∞, dus zonder rotatie:
  • 1. C_∞, uitsluitend voortgebracht door de translatievector, algebraïsch: Z.
  • 2. S_∞, voortgebracht door de translatievector met tegelijk een spiegeling over de horizontale lijn, of gelijk daaraan voortgebracht door een glijspiegeling, S_∞ heeft ook een zuivere translatie van tweemaal de genoemde translatievector, algebraïsch: Z.
  • 3. C_∞h, voortgebracht door een spiegeling in een horizontale lijn, algebraïsch: Z × C₂.
  • 4. C_∞v, voortgebracht door een spiegeling in een verticale lijn, algebraïsch: D_∞, de oneindige dihedrale groep
• met chirale versie D_∞, met een rotatie:
  • 5. D_∞, voortgebracht door uitsluitend een rotatie over 180°, algebraïsch: D_∞
  • 6. D_∞d, voortgebracht door een rotatie over 180° en een spiegeling over een verticale lijn, algebraïsch: D_∞
  • 7. D_∞h, voortgebracht door de volgende drie: een spiegeling in een horizontale lijn, een spiegeling in een verticale lijn en een rotatie over 180°, algebraïsch: D_∞ × C₂.

Strookpatroongroepen zijn nauw verwant aan de zeven reeksen van symmetriegroepen in 3D met bij de laatste rotatie in plaats van translatie, en zijn min of meer te beschouwen als het geval n = ∞, de notatie is daar ook op gebaseerd. Strookpatroongroepen zijn in zoverre eenvoudiger dat er geen onderscheid aan de orde is tussen even en oneven n, en ook geen uitzonderingen voor kleine waarden van n; ook speelt alles zich af in 2D. Daar staat tegenover dat de groepen oneindig groot zijn.

Wanneer de translatiesymmetrie van een tweedimensionaal patroon zich over ten minste twee richtingen uitstrekt, zijn er de 17 behangpatroongroepen.