Quaternionengroep

In de groepentheorie is de quaternionengroup een niet-abelse groep van orde 8. De quaternionengroep wordt vaak aangeduid met Q en wordt met de volgende acht elementen als volgt in multiplicatieve vorm geschreven:

Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}

Cyclegraaf van Q. Elke kleur geeft een reeks van machten aan van enig element dat verbonden is met het identiteitelement (1). De cycle in rood weerspiegelt bijvoorbeeld het feit dat i ² = −1, i ³ = −i and i ⁴ = 1. De rode cycle geeft ook het feit weer dat (−i )² = −1, (−i )³ = i en (−i )⁴ = 1.

Hier is 1 het identiteitselement, (−1)² = 1, en (−1)a = a(−1) = −a voor alle a in Q. De resterende vermeningvuldigingsregels kan men verkrijgen uit de volgende relaties:

i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1

De gehele Cayley-tabel (vermenigvuldigingstabel) voor Q wordt gegeven bij:

	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
1	1	−1	i	−i	j	−j	k	−k
−1	−1	1	−i	i	−j	j	−k	k
i	i	−i	−1	1	k	−k	−j	j
−i	−i	i	1	−1	−k	k	j	−j
j	j	−j	−k	k	−1	1	i	−i
−j	−j	j	k	−k	1	−1	−i	i
k	k	−k	j	−j	−i	i	−1	1
−k	−k	k	−j	j	i	−i	1	−1

Merk op dat de resulterende groep niet-commutatief is; bijvoorbeeld ij = −ji. Q heeft de ongebruikelijke eigenschap dat zij een Hamiltoniaan is: elke ondergroep van Q is een normale ondergroep, maar de groep is niet-abels. Elke Hamiltoniaanse groep bevat een kopie van Q.

Zie ook

Quaternion

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.