Genererende verzameling

In de abstracte algebra is een genererende verzameling of voortbrengende verzameling van een groep, G, een deelverzameling, S, zodat elk element van G kan worden uitgedrukt als het product van een eindig aantal elementen van S en hun inversen.

Andersom, als S een deelverzameling is van een groep G, dan is ⟨S⟩, de deelgroep gegenereerd/voortgebracht door S, de kleinste deelgroep van G die elk element van S bevat, wat betekent dat het de doorsnede is van alle deelgroepen die elk element van S bevatten; of op equivalente wijze uitgedrukt, ⟨S⟩ is de deelgroep van alle elementen van G die als het eindige product van de elementen van S en hun inversen kunnen worden uitgedrukt.

Als G = ⟨S⟩, dan zeggen wij dat S, G genereert. De elementen van S worden de generatoren of groepsgeneratoren genoemd. Als S de lege verzameling is, dan is ⟨S⟩ vervolgens de triviale groep e, dit omdat we het lege product beschouwen als de identiteit.

Als er slechts één enkel element x deel uitmaakt van S, wordt ⟨S⟩ meestal geschreven als ⟨x⟩. In dat geval, is ⟨x⟩ de cyclische deelgroep van de machten van x, een cyclische groep, en zegt men dat deze groep gegenereerd wordt door x en noemen men x de voortbrenger van de groep. De orde van een element x is gedefinieerd als de orde van ⟨x⟩ (het aantal elementen).