Behangpatroongroep

Het geheel van symmetrie van een tweedimensionaal patroon met minstens translatiesymmetrie in twee richtingen kan worden ingedeeld in 17 categorieën, die behangpatroongroepen worden genoemd. Binnen een categorie kunnen parameters variëren, maar is het geheel van symmetrie in essentie hetzelfde. Aangezien de symmetriegroep van een patroon de exacte symmetrie representeert is een behangpatroongroep een categorie van symmetriegroepen.

Een behangpatroongroep is een 2-dimensionale ruimtegroep.

een Islamitisch patroon, volgens groep p4mm

Alle 17 behangpatroongroepen komen reeds voor in de islamitische ornamenten in het Alhambra in Spanje. Evgraf Fedorov (Russisch wiskundige) leverde hiervoor het bewijs in 1891.

Verwant zijn de strookpatroongroepen voor herhaling in één richting (hiervan zijn er zeven), en de rozetpatroongroepen voor patronen zonder translatiesymmetrie: cyclische groepen en dihedrale groepen.

Symmetrie

De symmetriegroep van een tweedimensionaal patroon met minstens translatiesymmetrie in twee richtingen bestaat behalve uit translaties uit isometrieën in nul of meer van de volgende categorieën:

In de afbeeldingen hieronder wordt gebruikgemaakt van de volgende tekens:

  • een ruit geeft het centrum aan van een rotatie over 180° (= 360°/2 )
  • een driehoek geeft het centrum aan van een rotatie over 120°(= 360°/3 )
  • een vierkant geeft het centrum aan van een rotatie over 90° (= 360°/4 )
  • een zeshoek geeft het centrum aan van een rotatie over 60°(= 360°/6 )
  • een dikke lijn geeft de spiegelas aan
  • een stippellijn geeft een glijspiegeling aan, dit is een combinatie van een spiegelas met een translatie

Het getekende parallellogram (met als speciale gevallen ruit en rechthoek) is steeds een van de versies van het gebied dat zich op basis van de translatiesymmetrie steeds herhaalt. Het gele vlak is een fundamenteel domein van het patroon.

Parallellogrammen

1. Groep p1 (ook O1)


Deze groep heeft translatie als enige vorm van symmetrie.

 2. Groep p2 (ook 2222)


Deze groep heeft naast translatie vier rotaties van 180°.

Rechthoeken

3. Groep pm (ook **)


Deze groep heeft 2 parallelle spiegelassen

 4. Groep pg (ook XX)


5. Groep pmm (ook *2222)


 6. Groep pmg (ook 22*)


7. Groep pgg (ook 22X)


Ruiten

8. Groep cm (ook *X)


 9. Groep cmm (ook 2*22)


Vierkanten

10. Groep p4 (ook 442)


 11. Groep p4mm (ook *442 of p4m)


Voorbeelden zijn ruitjespapier (regelmatige betegeling met vierkanten), een vierkant puntgrid en een schaakbordpatroon (bij het laatste lopen de kortste translatievectoren diagonaal)

12. Groep p4gm (ook 4*2 of p4g)


Een voorbeeld is ruitjespapier, met om en om in elk vierkantje een horizontaal of verticaal streepje (hierbij lopen de kortste translatievectoren diagonaal)

Een p4-patroon kan beschouwd worden als schaakbordpatroon van herhaling van twee vierkante tegels, elk met rotatiesymmetrie van orde 4. Bij p4mm hebben beide tegels afzonderlijk extra symmetrie, bij p4gm zijn ze elkaars spiegelbeeld.

Ruiten of zeshoeken

13. Groep p3 (ook 333)


 14. Groep p3m1 (ook *333)


15. Groep p31m (ook 3*3)


 16. Groep p6 (ook 632)


17. Groep p6mm (ook *632 of p6m)


Deze patronen geven herhaling van twee gelijkzijdige driehoekige tegels, elk met rotatiesymmetrie (uiteraard van orde 3). Bij p3m1 hebben beide tegels afzonderlijk extra symmetrie, bij p31m zijn ze elkaars spiegelbeeld. Uitgaande van p3 geldt bij p6 voor een derde van de rotatiepunten de sterkere eigenschap dat ze niet van orde 3 maar van orde 6 zijn: het kan daarbij gaan om de hoekpunten van beide driehoeken, of het midden van een van beide[1]. In het eerste geval zijn de twee tegels gelijk en is alleen de stand omgekeerd; het patroon geeft dus herhaling van één gelijkzijdige driehoekige tegel met rotatiesymmetrie van orde 3; de rotatiepunten van orde 6 zijn de hoekpunten. Bij p6m heeft deze ene tegel ook nog extra symmetrie.

Zie de categorie Wallpaper group diagrams van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.