Cyclische groep

Een groep G wordt cyclisch genoemd indien er een element ${\displaystyle g\in G}$ bestaat zodanig dat ${\displaystyle G=\langle g\rangle :=\{g^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$. Aangezien een groep die voortgebracht wordt door een element in die groep een deelgroep van die groep is, volstaat het te laten zien dat er een element ${\displaystyle g\in G}$ bestaat zodanig dat ${\displaystyle G}$ zelf de enige deelgroep is die ${\displaystyle g}$ bevat.

Als bijvoorbeeld ${\displaystyle G=\{g^{0}=e,g^{1}=g,g^{2},g^{3},g^{4},g^{5}\}}$ een groep is van 6 elementen, dan is ${\displaystyle g^{6}=e}$ en is ${\displaystyle G}$ cyclisch. In feite is ${\displaystyle G}$ qua groepsstructuur in essentie hetzelfde als (dat wil zeggen, isomorf met) de verzameling {0, 1, 2, 3, 4, 5} met optelling modulo 6. Zo correspondeert 1 + 2 = 3 (mod 6) met ${\displaystyle g^{1}g^{2}=g^{3}}$ en 2 + 5 = 1 (mod 6) met ${\displaystyle g^{2}g^{5}=g^{7}=g}$. Men kan gebruikmaken van het isomorfisme ${\displaystyle \varphi }$ gedefinieerd door ${\displaystyle \varphi (g^{k})=k}$.

Voor elk positief geheel getal n is er precies één cyclische groep ("upto" isomorfisme), waarvan de orde n is, en is er precies één oneindige cyclische groep (de gehele getallen onder optelling). Vandaar dat de cyclische groepen de eenvoudigste groepen zijn en zij ook volledig zijn geclassificeerd.

De naam 'cyclisch' kan misleidend zijn: het is mogelijk om oneindig veel elementen voort te brengen zonder letterlijke cycli te vormen; dat wil zeggen, elke ${\displaystyle g^{n}}$ is verschillend. (Men kan zeggen dat het een oneindig lange cyclus heeft.) In dat geval moet men ook negatieve waarden van n in aanmerking nemen, dit geeft andere elementen. Een groep die op deze manier is voortgebracht wordt een oneindige cyclische groep genoemd en deze groep is isomorf met de additieve groep van gehele getallen Z.

Verder is de cirkelgroep (waarvan het aantal elementen overaftelbaar is) geen cyclische groep - een cyclische groep heeft namelijk altijd aftelbare elementen.

Aangezien de cyclische groepen abels zijn, worden zij vaak additief geschreven en aangeduid door Z_n. Deze notatie kan echter problematisch zijn voor getaltheoretici, omdat zij in strijd is met de gebruikelijke notatie voor p-adische getallenringen van lokalisatie van een priemideaal. De quotiënt notaties Z/nZ, Z/n en Z/(n) zijn standaard alternatieven. We nemen de eerste van deze notaties hier om botsing in notatie te voorkomen.

Men kan de groep multiplicatief beschrijven, en de groep aangeven door C_n, waar n de orde is (die ∞ kan worden). Bijvoorbeeld, g³g⁴ = g² in C₅, terwijl 3 + 4 = 2 in Z/5Z.

Cyclische groepen zijn de eenvoudigste groepen. Er is voor ieder natuurlijk getal een cyclische groep C_n van die orde en er is een oneindige cyclische groep, de optelgroep van de gehele getallen. Elke andere cyclische groep is met een van deze isomorf. Elke cyclische groep is commutatief.

Een voorbeeld van een cyclische groep is (${\displaystyle \mathbb {Z} /10\mathbb {Z} ,+}$), die bestaat uit de getallen ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots 9\}}$ met als groepsbewerking de optelling modulo 10. Deze groep kan worden voortgebracht door het element 3.

3 + 3 = 6
6 + 3 = 9
9 + 3 = 12 = 2 mod 10
2 + 3 = 5
5 + 3 = 8
8 + 3 = 11 = 1 mod 10
1 + 3 = 4
4 + 3 = 7
7 + 3 = 0
0 + 3 = 3

Zo zijn alle elementen binnen de groep gevormd.

Een ander voorbeeld van een eindige cyclische groep is de groep van rotaties van een regelmatige veelhoek. Een dergelijke cyclische groep is dus een rotatiegroep. Bijvoorbeeld zijn er vijf rotaties, waaronder de identiteit, die de regelmatige vijfhoek op zichzelf afbeeldt.