Isometriegroep

• De isometriegroep van een gelijkzijdige driehoek is de permutatiegroep van de drie hoekpunten, de symmetrische groep S₃. De isometriegroep van een gelijkbenige driehoek bestaat alleen uit een spiegeling en de identieke afbeelding. Zijn alle drie de zijden van de driehoek ongelijk, dan is de isometriegroep de triviale groep.
• De isometriegroep van het boloppervlak ${\displaystyle S^{2}}$ is een oneindige groep, die de orthogonale groep O(3) wordt genoemd.
• De isometriegroep van een n-dimensionale euclidische ruimte is de euclidische groep E(n).

In veel gevallen komt de studie van isometriegroepen overeen met die van symmetriegroepen. Zo zijn de symmetriegroep van een metrische ruimte en daarvan de isometriegroep hetzelfde.

Er zijn echter gevallen waarbij een isometriegroep van een metrische ruimte van geen enkel object op die metrische ruimte de symmetriegroep is. Voorbeelden:

• Eindige groepen:
  • Op de verzameling bestaande uit de drie hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek is er geen object met alleen de betreffende rotatiesymmetrie.
• Overaftelbare isometriegroepen:
  • De groep bestaande uit alle translaties in 1D: een object die deze groep als symmetriegroep zou hebben zou homogeen zijn, maar dan zou er ook reflectiesymmetrie zijn.
  • De speciale orthogonale groep SO(2). Idem.
• Aftelbare isometriegroepen:
  • De isometriegroep bestaande uit alle translaties in Z, dus de groep voortgebracht door een translatie over een afstand 1: <1>. Idem.
  • De isometriegroep bestaande uit alle translaties in Z over een even afstand: <2>. Een figuur kan op even posities anders zijn dan op oneven posities (bijvoorbeeld om en om rood en blauw), maar ook hierbij zou er ook reflectiesymmetrie zijn.
• Eindige isometriegroepen:
  • Stel de verzameling waarop we figuren bekijken bestaat uit de hoekpunten van een regelmatige 2n-hoek, en neem isometriegroep <C_n> (de isometriegroep voortgebracht door de isometrie bestaande uit het twee plaatsen verdraaien van de punten). Als boven.

Hieronder beperken we ons tot het vlak, in andere dimensies is het analoog.

Als een isometriegroep een translatie en een rotatie bevat, dan bevat deze ook een rotatie over dezelfde hoek, met als draaipunt de getransleerde van het eerste draaipunt. Deze isometrie is namelijk samen te stellen uit de inverse translatie, de rotatie, en de translatie, in die volgorde toegepast.

Bovendien bevat de isometriegroep een translatie met een overeenkomstig de rotatie geroteerde translatievector (onafhankelijk van de positie van het draaipunt). Deze isometrie is namelijk samen te stellen uit de inverse rotatie, de translatie, en de rotatie, in die volgorde toegepast.

Dit gaat analoog voor combinaties met spiegeling: als een isometriegroep een translatie of rotatie en een spiegeling bevat dan bevat deze ook spiegelingen met verschoven of gedraaide spiegellijnen,[1] en een gespiegelde translatie of rotatie. (De isometriegroep bevat voor elke rotatie sowieso ook de tegengestelde rotatie, maar waar het hier om gaat is dat als het rotatiepunt niet op de spiegellijn ligt er nog een rotatiepunt is, namelijk het spiegelbeeld van het eerste.)

Vanaf hier beperken we ons tot het vlak en laten andere dimensies buiten beschouwing.

Als een isometriegroep een translatie van een bepaalde grootte bevat, en een rotatie van orde n, bevat deze ook gedraaide versies van de translatie. Er zijn dan paren translaties van die grootte met een hoek van 360°/n, en als n oneven is ook met een hoek van 180°/n. Als zo'n hoek kleiner dan 60° is, is de grootte van de verschiltranslatie een vaste factor kleiner. De isometriegroep bevat dan dus willekeurig kleine translaties. Dit is het geval bij n > 6 en bij oneven n > 3, dus bij alle n, behalve 1, 2, 3, 4 en 6 (met als kleinste hoek tussen even grote translaties respectievelijk 180°, 180°, 60°, 90° en 60°). Isometriegroepen in het vlak met discrete translatiegroepen (en dus ook behangpatroongroepen) zijn daardoor beperkt tot deze ordes van rotatie.

De vijf typen roosters die zich over het hele vlak uitstrekken (niet op één lijn liggen), met symmetriegroep resp. van de volgende types: p2 (scheef rooster), pmm (rechthoekig rooster), cmm (rombisch rooster), p6m (hexagonaal rooster) en p4m (vierkant rooster). Bij nr. 1 (p2) moet nog vermeld worden dat de korte diagonaal van het parallellogram niet even lang is als de linker zijde, en bij nr. 3 (cmm) nog dat de groene rechthoek geen vierkant is

De discrete translatiegroep (het translatierooster) wordt bij n = 3, 4 en 6 bepaald door deze n en één kleinste translatievector. De symmetriegroep van het rooster is van het type p4m voor n = 4 en van het type p6m voor n = 3 en 6. Bij n = 1 en 2 kunnen de translaties in één lijn liggen (en wordt de discrete translatiegroep voortgebracht door één kleinste translatievector), en is de symmetriegroep van het rooster van het type D_∞h, of in meer richtingen. In het laatste geval wordt de discrete translatiegroep voortgebracht door twee translatievectoren a en b. De groep wordt ook voortgebracht door twee translaties pa + qb en ra + sb met gehele p, q, r en s zodanig dat de inverse van de matrix ${\displaystyle {\begin{bmatrix}p&r\\q&s\end{bmatrix}}}$ ook alleen gehele getallen als elementen heeft, bijvoorbeeld door de translaties a en ra + b met gehele r, of 3a + 2b en 4a + 3b. De symmetriegroep van het rooster is van een van de volgende types:

• pmm - De translatiegroep wordt voortgebracht door twee translatievectoren die loodrecht op elkaar staan, maar niet even groot zijn.
• cmm - De translatiegroep wordt voortgebracht door twee translatievectoren die even groot zijn, maar geen hoek van 60°, 90° of 120° met elkaar maken.
• p6m - De translatiegroep wordt voortgebracht door twee translatievectoren die even groot zijn en een hoek van 60° met elkaar maken. Er is een bijbehorende regelmatige betegeling van gelijkzijdige driehoeken (de punten vormen de hoekpunten van de tegels) en een bijbehorende regelmatige betegeling van regelmatige zeshoeken (honingraatpatroon; de punten vormen de middelpunten van de zeshoeken). Het rooster kan worden verdeeld in drie partities die elk een 30° (of 90°) gedraaide versie vormen, een factor √3 vergroot). Een combinatie van twee daarvan geeft een honingraatpatroon van punten (zelf geen groep). De derde bestaat uit de middelpunten daarvan.
• p4m - De translatiegroep wordt voortgebracht door twee translatievectoren die even groot zijn en loodrecht op elkaar staan. Er is een bijbehorende regelmatige betegeling van vierkanten (op twee manieren: de punten vormen de hoekpunten of de middelpunten van de tegels). Het rooster kan worden verdeeld in twee partities die elk een 45° gedraaide versie vormen, een factor √2 vergroot).

• Fundamenteel domein .