Antiprisma

• De straal ${\displaystyle R_{0}}$ van de omgeschreven bol van een recht (dus extra regelmatig) ${\displaystyle n}$-zijdig antiprisma met zijde ${\displaystyle a}$ en hoogte ${\displaystyle h}$ kan berekend worden als de schuine zijde in een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}h}$ en de straal ${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}a\csc \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$ van de omgeschreven cirkel van de veelhoek. Dus:

${\displaystyle R_{0}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {h^{2}+a^{2}\csc ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$

• De oppervlakte ${\displaystyle A}$ van een recht ${\displaystyle n}$-zijdig antiprisma met zijde ${\displaystyle a}$ en hoogte ${\displaystyle h}$ is samengesteld uit de oppervlakten ${\displaystyle A_{0}}$ van onder- en bovenvlak en de ${\displaystyle 2n}$ oppervlakten ${\displaystyle A_{z}}$ van de gelijkbenige driehoeken van de zijkant. Er geldt:

${\displaystyle A_{0}={\tfrac {1}{4}}na^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)}$

en

${\displaystyle A_{z}={\tfrac {1}{4}}a^{2}{\sqrt {\left({\frac {2h}{a}}\right)^{2}+\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{2n}}\right)}}}$,

zodat ${\displaystyle A}$ gegeven wordt door de formule:

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}na^{2}\left(\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)+{\sqrt {\left({\frac {2h}{a}}\right)^{2}+\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{2n}}\right)}}\right)}$

• Als het antiprisma uniform is, is:

${\displaystyle {\frac {h}{a}}={\sqrt {1-{\tfrac {1}{4}}\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{2n}}\right)}}}$

en

${\displaystyle A_{z}={\tfrac {1}{4}}a^{2}{\sqrt {3}}}$,

zodat

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}na^{2}\left(\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)+{\sqrt {3}}\right)}$

• De inhoud ${\displaystyle V}$ van een uniform ${\displaystyle n}$-zijdig antiprisma met zijde ${\displaystyle a}$ wordt gegeven door:

${\displaystyle V={\frac {n}{12}}a^{3}\left(\cot \left({\frac {\pi }{2n}}\right)+\cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right){\sqrt {1-{\tfrac {1}{4}}\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{2n}}\right)}}}$

Het uniforme antiprisma kan worden gegeneraliseerd tot uniforme antiprisma's in de ruime zin, met hoekpuntconfiguratie ${\displaystyle 3.3.3.p/q}$, met ${\displaystyle q<2p/3}$, waarbij bijvoorbeeld ${\displaystyle 3.3.3.10/1}$ gelijk is aan ${\displaystyle 3.3.3.10}$, maar ${\displaystyle 3.3.3.10/2}$ niet gelijk is aan ${\displaystyle 3.3.3.5}$. Het grondvlak van ${\displaystyle 3.3.3.p/q}$ is (ster)veelhoek ${\displaystyle \{p/q\}}$, die gelijk is aan ${\displaystyle \{p/(p-q)\}}$. Het bovenvlak is ${\displaystyle q\times 180^{\circ }/p}$ gedraaid ten opzichte van het grondvlak, en bij het doorlopen van de ribben van onder- naar bovenvlak wordt ook een draai om de verticale as van het veelvlak gemaakt over deze hoek. De voorwaarde ${\displaystyle q<2p/3}$ is er omdat de lengte van de horizontale zijde van een driehoekig zijvlak langer moet zijn dan de horizontale component van de beide andere zijden.

• Voor ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ onderling ondeelbaar is er het sterantiprisma ${\displaystyle 3.3.3.p/q}$ met ${\displaystyle q<p/2}$ en het retrograde sterantiprisma ${\displaystyle 3.3.3.p/q}$ met ${\displaystyle p/2<q<2p/3}$.
• Als ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle q}$ grootste gemene deler ${\displaystyle r}$ hebben is er met ${\displaystyle s=p/r}$ en ${\displaystyle t=q/r}$ een samengesteld veelvlak van ${\displaystyle r}$ identieke uniforme antiprisma's ${\displaystyle 3.3.3.s/t}$ door elkaar (elk met grondvlak ${\displaystyle \{s/t\}}$, samen met grondvlak ${\displaystyle \{p/q\}}$). Voorbeelden:
  • ${\displaystyle 3.3.3.10/2}$ bestaat uit twee exemplaren van het antiprisma ${\displaystyle 3.3.3.5}$ door elkaar.
  • ${\displaystyle 3.3.3.10/4}$ bestaat uit twee exemplaren van het sterantiprisma ${\displaystyle 3.3.3.5/2}$ door elkaar.
  • ${\displaystyle 3.3.3.10/6}$ bestaat uit twee exemplaren van het retrograde sterantiprisma ${\displaystyle 3.3.3.5/3}$ door elkaar.

Voor even ${\displaystyle q}$ heeft het object de symmetrie van een prisma (D_ph), en anders die van een antiprisma (D_pd).

• (en) Antiprisma op MathWorld