Symmetrische groep

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is de symmetrische groep ${\displaystyle S_{n}}$ van een eindige verzameling ${\displaystyle M}$ met ${\displaystyle n}$ elementen de groep van alle permutaties van ${\displaystyle M}$. De groepsoperatie is de samenstelling van afbeeldingen. In plaats van ${\displaystyle S_{n}}$ wordt de symmetrische groep van ${\displaystyle M}$ ook wel genoteerd als ${\displaystyle \operatorname {Sym} (M)}$. Aangezien er ${\displaystyle n!}$ permutaties zijn van ${\displaystyle n}$ verschillende elementen, is de orde (het aantel elementen) van de symmetrische groep ${\displaystyle S_{n}}$ gelijk aan ${\displaystyle n!}$.

Cayley-graaf van de symmetrische groep ${\displaystyle S_{4}}$ met voortbrengers 2314 (blauw) en 2341 (rood)

Elke permutatiegroep van een verzameling met ${\displaystyle n}$ elementen is een ondergroep van ${\displaystyle S_{n}}$.